қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Есеп №1. $f : \mathbb{R} \to \left[\frac{1}{2024},2024\right]$ функциясы барлық $x \in \mathbb{R}$ үшін $f(f(x)) =x^2f(x)-x+1$ шартын қанағаттандырады. $f(1)$ санының барлық қабылдай алатын мүмкін мәндерін табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $a$ және $b$ натурал сандары берілген. $\dfrac{(5^m-2^m)(5^n+2^n)}{3^a\cdot 7^b}$ бөлшегі бүтін сан әрі 21 санымен өзара жай болатындай барлық натурал тақ $m$ және $n$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Қабырғалары $AB = 5$, $BC = 7$ және $AC = 3$ болатын $ABC$ үшбұрышы $\Omega$ шеңберіне іштей сызылған. $BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын $D$ нүктесінде қияды. $AD$ түзуі $\Omega$-ны $A$ және $E$ нүктелерінде қияды. $\omega$ — диаметрі $DE$ болатын шеңбер. $\Omega$ және $\omega$ шеңберлері $E$ және $F$ нүктелерінде қиылыссын. $AF$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Белгілі бір елде 2024 қала бар, олардың кейбіреулері жолдармен байланысқан. Әр қала кем дегенде үш басқа қаламен байланысқан. Бұл жолдармен елдің кез келген қаласынан кез келген басқа қалаға жетуге болады (тура жолмен жету міндетті емес). Кез келген екі қала үшін екі қала арасындағы ең қысқа маршрут анықталды. Осы ең қысқа маршрутта ең көп дегенде неше жол болуы мүмкін?
комментарий/решение
комментарий/решение