Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Даны два натуральных числа a и b. Найдите все нечётные натуральные m и n такие, что дробь (5m−2m)(5n+2n)3a⋅7b является целым числом, взаимно простым с 21.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, что для любых нечётных натуральных m и n:
5m−2m=(−2)m−2m=−2m−2m=−2m+1≢0(mod7),
5n+2n=2n+2n=2n+1≢0(mod3).
(5m−2m)(5n+2n)3a⋅7b
является целым числом, взаимно простым с 21, то
nu3(5m−2m)=a,ν3(5n+2n)=b.
По лемме LTE:
ν3(5m−2m)=ν3(5−2)+ν3(m)=1+ν3(m)=a,
ν7(5n+2n)=ν7(5+2)+ν7(n)=1+ν7(n)=b.
Таким образом:
ν3(m)=a−1,ν7(n)=b−1,
причём m и n нечётны по условию.
Следовательно:
m=3a−1⋅k,n=7b−1⋅l,
где k и l — натуральные числа, причём k взаимно просто с 6, а l взаимно просто с 14.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.