Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы


Даны два натуральных числа a и b. Найдите все нечётные натуральные m и n такие, что дробь (5m2m)(5n+2n)3a7b является целым числом, взаимно простым с 21.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  10
2 месяца 13 дней назад #

Заметим, что для любых нечётных натуральных m и n:

5m2m=(2)m2m=2m2m=2m+10(mod7),

5n+2n=2n+2n=2n+10(mod3).

(5m2m)(5n+2n)3a7b

является целым числом, взаимно простым с 21, то

nu3(5m2m)=a,ν3(5n+2n)=b.

По лемме LTE:

ν3(5m2m)=ν3(52)+ν3(m)=1+ν3(m)=a,

ν7(5n+2n)=ν7(5+2)+ν7(n)=1+ν7(n)=b.

Таким образом:

ν3(m)=a1,ν7(n)=b1,

причём m и n нечётны по условию.

Следовательно:

m=3a1k,n=7b1l,

где k и l — натуральные числа, причём k взаимно просто с 6, а l взаимно просто с 14.