Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы

Даны два натуральных числа $a$ и $b$. Найдите все нечётные натуральные $m$ и $n$ такие, что дробь $\dfrac{(5^m-2^m)(5^n+2^n)}{3^a\cdot 7^b}$ является целым числом, взаимно простым с 21.

Комментарий/решение

Заметим, что для любых нечётных натуральных m и n:

\[5^m - 2^m = (-2)^m - 2^m = -2^m - 2^m = -2^{m+1}\not\equiv 0 \pmod{7},\]

\[5^n + 2^n = 2^n + 2^n = 2^{n+1} \not\equiv 0\pmod{3}.\]

\[\frac{(5^m - 2^m)(5^n + 2^n)}{3^a \cdot 7^b}\]

является целым числом, взаимно простым с 21, то

\[nu_3(5^m - 2^m) = a, \quad \nu_3(5^n + 2^n) = b.\]

По лемме LTE:

\[\nu_3(5^m - 2^m) = \nu_3(5 - 2) + \nu_3(m) = 1 +\nu_3(m) = a,\]

\[\nu_7(5^n + 2^n) = \nu_7(5 + 2) + \nu_7(n) = 1 + \nu_7(n) = b.\]

Таким образом:

\[\nu_3(m) = a - 1, \quad \nu_7(n) = b - 1,\]

причём m и n нечётны по условию.

Следовательно:

\[m = 3^{a-1} \cdot k, \quad n = 7^{b-1} \cdot l,\]

где k и l — натуральные числа, причём k взаимно просто с 6, а l взаимно просто с 14.