Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Даны два натуральных числа a и b. Найдите все нечётные натуральные m и n такие, что дробь (5m−2m)(5n+2n)3a⋅7b является целым числом, взаимно простым с 21.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, что для любых нечётных натуральных m и n:
5^m - 2^m = (-2)^m - 2^m = -2^m - 2^m = -2^{m+1}\not\equiv 0 \pmod{7},
5^n + 2^n = 2^n + 2^n = 2^{n+1} \not\equiv 0\pmod{3}.
\frac{(5^m - 2^m)(5^n + 2^n)}{3^a \cdot 7^b}
является целым числом, взаимно простым с 21, то
nu_3(5^m - 2^m) = a, \quad \nu_3(5^n + 2^n) = b.
По лемме LTE:
\nu_3(5^m - 2^m) = \nu_3(5 - 2) + \nu_3(m) = 1 +\nu_3(m) = a,
\nu_7(5^n + 2^n) = \nu_7(5 + 2) + \nu_7(n) = 1 + \nu_7(n) = b.
Таким образом:
\nu_3(m) = a - 1, \quad \nu_7(n) = b - 1,
причём m и n нечётны по условию.
Следовательно:
m = 3^{a-1} \cdot k, \quad n = 7^{b-1} \cdot l,
где k и l — натуральные числа, причём k взаимно просто с 6, а l взаимно просто с 14.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.