Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы

Задача №1. Функция

$f : \mathbb{R} \to \left[\frac{1}{2024},2024\right]$ удовлетворяет условию

$f(f(x)) =x^2f(x)-x+1$ для всех

$x \in \mathbb{R}$ . Найдите все возможные значения

$f(1)$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Даны два натуральных числа

$a$ и

$b$ . Найдите все нечётные натуральные

$m$ и

$n$ такие, что дробь

$\dfrac{(5^m-2^m)(5^n+2^n)}{3^a\cdot 7^b}$ является целым числом, взаимно простым с 21.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Треугольник

$ABC$ со сторонами

$AB = 5$ ,

$BC = 7$ и

$AC = 3$ вписан в окружность

$\Omega$ . Биссектриса угла

$BAC$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$D$ . Прямая

$AD$ пресекает

$\Omega$ в точках

$A$ и

$E$ . На отрезке

$DE$ как на диаметре построена окружность

$\omega$ . Окружности

$\Omega$ и

$\omega$ пересекаются в точках

$E$ и

$F$ . Найдите длину

$AF$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В некоторой стране 2024 города, некоторые из которых соединены дорогами. Каждый город соединён по крайней мере с тремя другими городами. Но этим дорогам можно добраться из любого города страны в любой другой город (возможно, проезжая через другие города). Для любых двух городов определили самый кратчайший путь между двумя городами. Какое наибольшее число дорог может быть в этом кратчайшем маршруте?
комментарий/решение(1)