қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Задача №1. Функция $f : \mathbb{R} \to \left[\frac{1}{2024},2024\right]$ удовлетворяет условию $f(f(x)) =x^2f(x)-x+1$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдите все возможные значения $f(1)$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Даны два натуральных числа $a$ и $b$. Найдите все нечётные натуральные $m$ и $n$ такие, что дробь $\dfrac{(5^m-2^m)(5^n+2^n)}{3^a\cdot 7^b}$ является целым числом, взаимно простым с 21.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 5$, $BC = 7$ и $AC = 3$ вписан в окружность $\Omega$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Прямая $AD$ пресекает $\Omega$ в точках $A$ и $E$. На отрезке $DE$ как на диаметре построена окружность $\omega$. Окружности $\Omega$ и $\omega$ пересекаются в точках $E$ и $F$. Найдите длину $AF$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В некоторой стране 2024 города, некоторые из которых соединены дорогами. Каждый город соединён по крайней мере с тремя другими городами. Но этим дорогам можно добраться из любого города страны в любой другой город (возможно, проезжая через другие города). Для любых двух городов определили самый кратчайший путь между двумя городами. Какое наибольшее число дорог может быть в этом кратчайшем маршруте?
комментарий/решение
комментарий/решение