Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Треугольник ABC со сторонами AB=5, BC=7 и AC=3 вписан в окружность Ω. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D. Прямая AD пресекает Ω в точках A и E. На отрезке DE как на диаметре построена окружность ω. Окружности Ω и ω пересекаются в точках E и F. Найдите длину AF.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть G - второе пересечение FD и окружности Ω, тогда из того, что ∠EFG=90∘ следует, что G - середина дуги BAC.
Ω→Ω:−1=(C,B;G,E)D=(B,C;F,A). Последнее означает, что AF содержит симедиану треугольника ABC, а значит AB⋅FC=AC⋅BF.
По теореме косинусов:
cos∠BAC=52+32−722⋅3⋅5=−12, откуда ∠BAC=120∘.
Пусть T - пересечение касательных из B,C к Ω, тогда верно, что ∠TBC=∠TCB=∠BFC=60∘, поэтому △TBC является правильным. Пусть AF пересекает BC в S. Известно, что BSSC=259=sin∠BTSsin∠CTS,
AB⋅CF+AC⋅BF=BC⋅AF⇔AF=10CF7,
где в конце использовалась теорема Птолемея.
CFCT=sin∠CTFsin∠CFT,sin∠CFT=32R=3√314,∠CTF=x.
sin(60∘−x)sinx=259,25sinx=9sin(60∘−x),sin(60∘−x)=√3cosx−sinx2,
tanx=9√359,sinx=9√314√19,
CF=21√19,AF=30√19.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.