Processing math: 100%

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы


Треугольник ABC со сторонами AB=5, BC=7 и AC=3 вписан в окружность Ω. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D. Прямая AD пресекает Ω в точках A и E. На отрезке DE как на диаметре построена окружность ω. Окружности Ω и ω пересекаются в точках E и F. Найдите длину AF.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2 месяца 17 дней назад #

Пусть G - второе пересечение FD и окружности Ω, тогда из того, что EFG=90 следует, что G - середина дуги BAC.

ΩΩ:1=(C,B;G,E)D=(B,C;F,A). Последнее означает, что AF содержит симедиану треугольника ABC, а значит ABFC=ACBF.

По теореме косинусов:

cosBAC=52+3272235=12, откуда BAC=120.

Пусть T - пересечение касательных из B,C к Ω, тогда верно, что TBC=TCB=BFC=60, поэтому TBC является правильным. Пусть AF пересекает BC в S. Известно, что BSSC=259=sinBTSsinCTS,

ABCF+ACBF=BCAFAF=10CF7,

где в конце использовалась теорема Птолемея.

CFCT=sinCTFsinCFT,sinCFT=32R=3314,CTF=x.

sin(60x)sinx=259,25sinx=9sin(60x),sin(60x)=3cosxsinx2,

tanx=9359,sinx=931419,

CF=2119,AF=3019.