Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. $a$, $b$ және $c$ оң нақты сандары ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$ теңдігін қанағаттандырады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $a+b+c+1/(abc)\ge 4\sqrt{3}$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Бір елде $n$ қала және бірнеше ұшақ бар. Әр ұшақ тек қана екі қалалардың арасында ұша алады және кез келген екі қалалардың арасында көп дегенде бір ұшақ ұшады. Авиарейстер қалай құрылса да, кез келген қаладан кез келген басқа қалаға көп дегенде бір-ақ рет ұшақты ауыстыру арқылы жету үшін ең аз дегенде қанша ұшақ керек?
комментарий/решение

---

Есеп №3. $O$ нүктесі шеңбердің центрі болсын. Бір-біріне тең $AB$ және $CD$ хордалары $AL > LB$ және $DL > LC$ болатындай $L$ нүктесінде қиылысады. $AL$ және $DL$ кесінділерінің бойынан $\angle ALC=2\angle MON$ теңдігі орындалатындай етіп сәйкес $M$ және $N$ нүктелері таңдап алынған. $M$ және $N$ нүктелері арқылы өтетін шеңбер хордасының $AB$ және $CD$ хордаларына тең болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Кез келген натурал $k$ саны үшін ${{m}^{3}}+1999$ саны ${{3}^{k}}$ санына бөлінетіндей шексіз көп натурал $m$ сандарының табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Егер $5\times n$ тіктөртбұрыш тақтасын мынадай фигураларға бөлуге болатын болса, $n$-нің жұп екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №6. Кез келген $x$ және $y$ бүтін сандары үшін $f\left( x+y \right)=f(x)f(y)-f\left( xy \right)+1$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ функцияларын табыңыздар. Бұл жерде $\mathbb{Z}$ — бүтін сандар жиыны.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №7. $ABC$ үшбұрышының ішінен $M$ нүктесі алынған. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер $\min \{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC < AB+AC+BC$.
комментарий/решение

---

Есеп №8. $p$ саны ${{2}^{{{2}^{k}}}}+1$ санының жай бөлгіші болсын. $p-1$ саны ${{2}^{k+1}}$ санына бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

---