Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Ответ:f(x)=1; f(x)=x+1; и функция f(x), где если x=2a, f(x)=1, и если x=2a+1, f(x)=0.
Пусть P(x;y) данное равенство. При P(0;0)
f(0)=f(0)2−f(0)+1 или f(0)=1. При P(1;−1)
f(−1)=f(1)•f(−1) или f(−1)(f(1)−1)=0. Если f(1)=1, тогда при P(1;y)
f(y+1)=f(1)•f(y)−f(y)+1 или f(y+1)=1. Тогда f(−1)=0. При P(−2;1)
f(−1)=f(−2)•f(1)−f(−2)+1 или −1=f(−2)(f(1)−1). А это "Деофантого уравнение". В первом случае f(−2)=1 и f(1)=0. Тогда при P(x;1)
f(x+1)=1−f(x). Но f(x+1)=1−f(x)=1−(1−f(x−1))=f(x−1). Эта функция с периодом 2. Тогда f(2k)=1 и f(2k+1)=0, где k целое.
В втором случае, f(−2)=−1 и f(1)=2. Тогда при P(x;1)
f(x+1)=f(x)+1. Докажем по индукции что f(n)=n+1, где n целое.
Докажем это при натуральных числах. При n=1, это правильно. Пусть при n=k , это правильно. При n=k+1 f(k+1)=f(k)+1=k+2. При отрицательных числах аналогично.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.