Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс


Найдите все функции f:ZZ такие, что f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)+1 для всех целых x и y. Здесь Z — множество целых чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 1 месяца назад #

Ответ:f(x)=1; f(x)=x+1; и функция f(x), где если x=2a, f(x)=1, и если x=2a+1, f(x)=0.

Пусть P(x;y) данное равенство. При P(0;0)

f(0)=f(0)2f(0)+1 или f(0)=1. При P(1;1)

f(1)=f(1)f(1) или f(1)(f(1)1)=0. Если f(1)=1, тогда при P(1;y)

f(y+1)=f(1)f(y)f(y)+1 или f(y+1)=1. Тогда f(1)=0. При P(2;1)

f(1)=f(2)f(1)f(2)+1 или 1=f(2)(f(1)1). А это "Деофантого уравнение". В первом случае f(2)=1 и f(1)=0. Тогда при P(x;1)

f(x+1)=1f(x). Но f(x+1)=1f(x)=1(1f(x1))=f(x1). Эта функция с периодом 2. Тогда f(2k)=1 и f(2k+1)=0, где k целое.

В втором случае, f(2)=1 и f(1)=2. Тогда при P(x;1)

f(x+1)=f(x)+1. Докажем по индукции что f(n)=n+1, где n целое.

Докажем это при натуральных числах. При n=1, это правильно. Пусть при n=k , это правильно. При n=k+1 f(k+1)=f(k)+1=k+2. При отрицательных числах аналогично.

  1
6 года назад #

Пожалуйста, можете указать ошибку.