Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Найдите все функции $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ такие, что $$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$$ для всех целых $x$ и $y$. Здесь $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел.

Комментарий/решение

$Ответ: f(x)=1$; $f(x)=x+1;$ и функция $f(x)$, где если $x=2a,$ $f(x)=1$, и если $x=2a+1$, $f(x)=0$.

Пусть $P(x;y)$ данное равенство. При $P(0;0)$

$f(0)=f(0)^2-f(0)+1$ или $f(0)=1$. При $P(1;-1)$

$f(-1)=f(1)•f(-1)$ или $f(-1)(f(1)-1)=0$. Если $f(1)=1$, тогда при $P(1;y)$

$f(y+1)=f(1)•f(y)-f(y)+1$ или $f(y+1)=1$. Тогда $f(-1)=0$. При $P(-2;1)$

$f(-1)=f(-2)•f(1)-f(-2)+1$ или $-1=f(-2)(f(1)-1)$. А это "Деофантого уравнение". В первом случае $f(-2)=1$ и $f(1)=0$. Тогда при $P(x;1)$

$f(x+1)=1-f(x)$. Но $f(x+1)=1-f(x)=1-(1-f(x-1))=f(x-1).$ Эта функция с периодом 2. Тогда $f(2k)=1$ и $f(2k+1)=0$, где $k$ целое.

В втором случае, $f(-2)=-1$ и $f(1)=2$. Тогда при $P(x;1)$

$f(x+1)=f(x)+1$. Докажем по индукции что $f(n)=n+1$, где $n$ целое.

Докажем это при натуральных числах. При $n=1$, это правильно. Пусть при $n=k$ , это правильно. При $n=k+1$ $f(k+1)=f(k)+1=k+2$. При отрицательных числах аналогично.

Пожалуйста, можете указать ошибку.