Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Задача №1. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ положительные действительные числа, удовлетворяющие равенству

$a^2+b^2+c^2=1$ . Докажите неравенство

$a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt3.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Имеется

$n$ городов и несколько самолетов. Каждый самолет летает только между двумя городами и между любыми двумя городами летает не более одного самолета. Найти минимальное количество самолетов так, чтобы при любой организации авиарейсов из каждого города можно попасть в любой другой не более чем с одной пересадкой.
комментарий/решение

Задача №3. Пусть точка

$O$ является центром окружности. Две равные хорды

$AB$ и

$CD$ пересекаются в точке

$L$ таким образом, что

$AL > LB$ и

$DL > LC$ . Пусть

$M$ и

$N$ соответственно точки на отрезках

$AL$ и

$DL$ такие, что

$\angle ALC = 2\angle MON$ . Доказать, что хорда окружности, проходящая через точки

$M$ и

$N$ равна

$AB$ и

$CD$ .
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что для любого натурального

$k$ найдется бесконечно много таких натуральных чисел

$m$ , что

$m^3+1999$ делится на

$3^k$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Прямоугольник

$5\times n$ можно разбить на фигурки, которые получаются удалением какой-либо угловой клетки прямоугольника

$2 \times 3$ . Докажите, что

$n$ четно.
комментарий/решение

Задача №6. Найдите все функции

$f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ такие, что

$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$ для всех целых

$x$ и

$y$ . Здесь

$\mathbb{Z}$ — множество целых чисел.
комментарий/решение(2)

Задача №7. Дан треугольник

$ABC$ и точка

$M$ внутри него. Доказать, что

$\min\{MA, MB, MC\}+MA+MB+MC < AB+BC+AC.$
комментарий/решение

Задача №8. Пусть число

$p$ является простым делителем числа

$2^{2^k}+1$ . Доказать, что

$p-1$ делится на

$2^{k+1}$ .
комментарий/решение(2)