Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные действительные числа, удовлетворяющие равенству $a^2+b^2+c^2=1$. Докажите неравенство $$ a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt3. $$

Комментарий/решение

По неравенству о средних

$(abc)^{\frac{2}{3}} \leq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} = \dfrac{1}{3}$ или $0 \leq abc \leq \dfrac{1}{3\sqrt{3}}$

но $a+b+c+\dfrac{1}{abc} \geq 3\sqrt[3]{abc}+\dfrac{1}{abc} \geq 4\sqrt{3}$ замена $abc=x$

$3\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{x} \geq 4\sqrt{3}$

$ (3x^{\frac{2}{3}}-1)(3x^2-15x^{\frac{4}{3}}-3x^{\frac{2}{3}}-1) \geq 0$ откуда

$0 \leq x \leq \dfrac{1}{3\sqrt{3}}$ что верно.