Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып

$a$, $b$ және $c$ оң нақты сандары ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$ теңдігін қанағаттандырады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $a+b+c+1/(abc)\ge 4\sqrt{3}$.

Комментарий/решение

По неравенству о средних

$(abc)^{\frac{2}{3}} \leq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} = \dfrac{1}{3}$ или $0 \leq abc \leq \dfrac{1}{3\sqrt{3}}$

но $a+b+c+\dfrac{1}{abc} \geq 3\sqrt[3]{abc}+\dfrac{1}{abc} \geq 4\sqrt{3}$ замена $abc=x$

$3\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{x} \geq 4\sqrt{3}$

$(3x^{\frac{2}{3}}-1)(3x^2-15x^{\frac{4}{3}}-3x^{\frac{2}{3}}-1) \geq 0$ откуда

$0 \leq x \leq \dfrac{1}{3\sqrt{3}}$ что верно.