Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Докажите, что для любого натурального $k$ найдется бесконечно много таких натуральных чисел $m$, что $m^3+1999$ делится на $3^k$.

Комментарий/решение

Достаточно доказать что существует хотя бы один такой $m$ , так как $m_i =m_0+3^ki$ будет давать бесконечно много решении.

Доказываем индукцией по $k$.

Для $k=1,2$ найти легко.

Пусть для $k$ утверждение верно. Докажем для $k+1$:

Возьмем $m^3+1999=3^kn$. Тогда для $M=m+2\cdot 3^{k-1}n$ имеем :

$M^3+1999=(m^3+1999)+2\cdot 3^knm(m+2\cdot 3^{k-1}n)+8\cdot27^{k-1}n^3=3^kn+2m^2\cdot 3^kn+4\cdot 3^{2k-1}n^2m+8\cdot27^{k-1}n^3=$

$3^kn(2m^2+1)+4\cdot 3^{2k-1}n^2m+8\cdot27^{k-1}n^3$ делится на $3^{k+1}$ так как $2m^2+1$ кратно $3$.