11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. На рисунке ниже точки

$A$ и

$B$ — это центры окружностей

$\omega_1$ и

$\omega_2$ . Начиная с прямой

$BC$ , точки

$E, F, G, H, I$ получены последовательно. Найдите угол

$\angle IBE$ .

комментарий/решение(1)

Задача №2. Точки

$X$ и

$Y$ лежат на стороне

$CD$ выпуклого пятиугольника

$ABCDE$ (

$X$ находится между

$Y$ и

$C$ ). Предположим, что треугольники

$\triangle XCB$ ,

$\triangle ABX$ ,

$\triangle AXY$ ,

$\triangle AYE$ и

$\triangle YED$ все подобны друг другу (в указанном порядке). Докажите, что описанные окружности треугольников

$\triangle ACD$ и

$\triangle AXY$ касаются.
комментарий/решение(4)

Задача №3. Пусть

$ABC$ — остроугольный треугольник, а точка

$D$ лежит на стороне

$BC$ . Пусть

$J$ такая точка на стороне

$AC$ , что

$\angle BAD = 2\angle ADJ$ . Обозначим через

$\omega$ описанную окружность треугольника

$CDJ$ . Прямая

$AD$ пересекает

$\omega$ во второй раз в точке

$P$ , а

$Q$ — основание перпендикуляра из точки

$J$ на прямую

$AB$ . Докажите, что если

$JP = JQ$ , то прямая, перпендикулярная к

$DJ$ и проходящая через

$A$ , касается окружности

$\omega$ .
комментарий/решение

Задача №4. Эрик собрал выпуклый многоугольник

$P$ из конечного числа центрально симметричных (не обязательно равных или выпуклых) многоугольных плиток. Докажите, что

$P$ также является центрально симметричным.
комментарий/решение

Задача №5. Диагонали

$AC$ и

$BD$ трапеции

$ABCD$ (

$AB \parallel CD$ ) пересекаются в точке

$P$ . Обозначим через

$\omega_1$ и

$\omega_2$ описанные окружности

$\triangle APD$ и

$\triangle BPC$ соответственно. Отражение прямой

$AD$ относительно внутренней биссектрисы

$\angle PDC$ пересекает

$\omega_1$ в точке

$D'$ , а отражение прямой

$BC$ относительно внутренней биссектрисы

$\angle PCD$ пересекает

$\omega_2$ в точке

$C'$ . Прямая

$C'A$ во второй раз пересекает

$\omega_2$ в точке

$Y$ , а прямая

$D'C$ во второй раз пересекает

$\omega_1$ в точке

$X$ . Докажите, что точки

$P, X, Y$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение