11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, вторая лига, 9-10 классы

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, а точка $D$ лежит на стороне $BC$. Пусть $J$ такая точка на стороне $AC$, что $\angle BAD = 2\angle ADJ$. Обозначим через $\omega$ описанную окружность треугольника $CDJ$. Прямая $AD$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $P$, а $Q$ — основание перпендикуляра из точки $J$ на прямую $AB$. Докажите, что если $JP = JQ$, то прямая, перпендикулярная к $DJ$ и проходящая через $A$, касается окружности $\omega$.