11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, вторая лига, 9-10 классы

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасынан $D$ нүктесі белгіленген. $AC$ қабырғасынан $\angle BAD = 2\angle ADJ$ болатындай $J$ нүктесі белгіленген. $\omega$ арқылы $\triangle CDJ$-ға сырттай сызылған шеңберді белгілейік. $AD$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қисын. $Q$ арқылы $J$ нүктесінен $AB$-ға түсірілген перпендикуляр табанын белгілейік. Егер $JP = JQ$ болса, онда $A$ нүктесінен $DJ$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр түзу $\omega$-ны жанайтынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $AE$ касательный на окружности $\omega$, и $AB\cup DJ=F,$ $G$ точка на $\omega$ такая что $AB\parallel GD\Longrightarrow \angle ADG=\angle BAD=2\angle ADJ\Longrightarrow \angle PDJ=\angle JDG\Longrightarrow JP=JG=JQ.$ Пусть $QG\cup \omega=E'\Longrightarrow \angle QAP=\angle PDG=\angle PE'Q\Longrightarrow AQPE'$ вписанный $\Longrightarrow \angle AE'P=180-\angle AQP=90-\angle PQJ=\dfrac{\angle QJP}{2}=180-\angle PJE'=\angle PDE\Longrightarrow E=E'.$

$\angle DAE=\angle PAE=\angle PQE=\angle QPE=\angle EAF \Longrightarrow AE$ биссектриса $DAE.$ $\angle AFD=\angle JDG=\angle JDA=\angle FDA\Longrightarrow AE\bot DF\Longrightarrow AE\bot DJ\blacksquare$

https://www18.online-convert.com/v2/dl/web7/download-file/4c49c21d-35d9-4171-8762-3fb4d13a3a43/image.png - чертёж.

Почему 180- PJE= PDE?