11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, вторая лига, 9-10 классы

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, а точка $D$ лежит на стороне $BC$. Пусть $J$ такая точка на стороне $AC$, что $\angle BAD = 2\angle ADJ$. Обозначим через $\omega$ описанную окружность треугольника $CDJ$. Прямая $AD$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $P$, а $Q$ — основание перпендикуляра из точки $J$ на прямую $AB$. Докажите, что если $JP = JQ$, то прямая, перпендикулярная к $DJ$ и проходящая через $A$, касается окружности $\omega$.

Комментарий/решение

Пусть $AE$ касательный на окружности $\omega$, и $AB\cup DJ=F,$ $G$ точка на $\omega$ такая что $AB\parallel GD\Longrightarrow \angle ADG=\angle BAD=2\angle ADJ\Longrightarrow \angle PDJ=\angle JDG\Longrightarrow JP=JG=JQ.$ Пусть $QG\cup \omega=E'\Longrightarrow \angle QAP=\angle PDG=\angle PE'Q\Longrightarrow AQPE'$ вписанный $\Longrightarrow \angle AE'P=180-\angle AQP=90-\angle PQJ=\dfrac{\angle QJP}{2}=180-\angle PJE'=\angle PDE\Longrightarrow E=E'.$

$\angle DAE=\angle PAE=\angle PQE=\angle QPE=\angle EAF \Longrightarrow AE$ биссектриса $DAE.$ $\angle AFD=\angle JDG=\angle JDA=\angle FDA\Longrightarrow AE\bot DF\Longrightarrow AE\bot DJ\blacksquare$

https://www18.online-convert.com/v2/dl/web7/download-file/4c49c21d-35d9-4171-8762-3fb4d13a3a43/image.png - чертёж.

Почему 180- PJE= PDE?