11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, вторая лига, 9-10 классы

Есеп №1. Төмендегі суретте $A$ және $B$ нүктелері $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінің центрлері болып келеді. $BC$ түзуінен бастап $E, F, G, H, I$ нүктелері кезек-кезекпен алынады. $IBE$ бұрышын табыңыз.

комментарий/решение

Есеп №2. Дөңес $ABCDE$ бесбұрышының $CD$ қабырғасынан $X$ және $Y$ нүктелері алынған ($X$ нүктесі $Y$ пен $C$ арасында жатыр). $\triangle XCB$, $\triangle ABX$, $\triangle AXY$, $\triangle AYE$ және $\triangle YED$ үшбұрыштары бір біріне ұқсас болсын (сәйкес төбелер дәл осы төбелер ретімен есептелінген). $ACD$ және $AXY$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің жанасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасынан $D$ нүктесі белгіленген. $AC$ қабырғасынан $\angle BAD = 2\angle ADJ$ болатындай $J$ нүктесі белгіленген. $\omega$ арқылы $\triangle CDJ$-ға сырттай сызылған шеңберді белгілейік. $AD$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қисын. $Q$ арқылы $J$ нүктесінен $AB$-ға түсірілген перпендикуляр табанын белгілейік. Егер $JP = JQ$ болса, онда $A$ нүктесінен $DJ$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр түзу $\omega$-ны жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №4. Эрик бірнеше орталық симметриялы плиткалардан дөңес $P$ көпбұрышын құрастырды (плиткалар тең болуы және дөңес болуы міндетті емес). $P$ көпбұрышы да центрлік симметриялы фигура екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. $AB \parallel CD$ болатын $ABCD$ трапециясының $AC$ және $BD$ диагоналдары $P$ нүктесінде қиылысады. $\omega_1$ және $\omega_2$ арқылы, сәйкесінше, $\triangle APD$ және $\triangle BPC$-ға сырттай сызылған шеңберлерді белгілейік. $AD$ түзуіне $PDC$ бұрышының ішкі биссектрисасына қатысты симметриялы түзу $\omega_1$-ді $D'$ нүктесінде, $BC$ түзуіне $PCD$ бұрышының ішкі биссектрисасына қатысты симметриялы түзу $\omega_2$-ні $C'$ нүктесінде қияды. $C'A$ түзуі $\omega_2$-ні екінші рет $Y$ нүктесінде, ал $D'C$ түзуі $\omega_1$-ді екінші рет $X$ нүктесінде қисын. $P, X, Y$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение