Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур регионального этапа

Есеп №1. Ең кіші төртеуінің қосындысы қалған он бірінің қосындысына тең болатындай қатар келген 15 бүтін сан табылады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Петя келесі дәйекті мәлімдеді: «Мен қатар келген 10 натурал сандарды жазу кезінде әр 0-ден 9-ға дейінгі қолданған цифрлар саны өзара тең болды». Петя шындықты айтуы мүмкін ба?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Шеңбер бойына 2023 сан тұр. Олардың ең кішісі 0-ге, ал ең үлкені

$N$ -ге тең. Тақтаға әрбір көрші тұрған екі санның қосындысы жазылды. Тақтадағы жазылған сандардың кез келген екеуінің айырмашылығы 1-ден артық емес.

$N$ санының қабылдай алатын ең үлкен мәні нешеге тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының ішінде

$\angle KCB+\angle ACB = \angle KBC+\angle ABC = 120^\circ$ болатындай

$K$ нүктесі таңдалады.

$AB$ қабырғасының

$B$ -дан әрі созындысында

$P$ нүктесі, ал

$AC$ қабырғасының

$C$ -дан әрі созындысында

$Q$ нүктесі

$BK = BP$ және

$CK = CQ$ болатындай етіп таңдалған.

$BQ = CP$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Қабырғасы 111-ге тең дұрыс

$T$ үшбұрышы әрқайсысының қабырғасы 1-ге тең дұрыс үшбұрыштарға бөлінген. Осы кіші үшбұрыштардың төбелері болатын,

$T$ -ның дәл центрінде орналасқан нүктеден басқа, барлық нүктелер белгіленген. Егер бірнеше белгіленген нүктелер жиыны бір түзудің бойында жатып, әрі сол түзу

$T$ -ның бір қабырғасына параллель болса, сол нүктелер жиынын сызықты нүктелер жиыны деп атаймыз. Барлық белгіленген нүктелерді 111 сызықтық жиынға бөлудің неше әдісі бар?
комментарий/решение