Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур регионального этапа

Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ такая, что $\angle KCB+\angle ACB = \angle KBC+\angle ABC = 120^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ таким образом, что $BK = BP$ и $CK = CQ$. Докажите, что $BQ = CP$.

Комментарий/решение

Пусть точка $D$ симметрична точке $K$ относительно стороне $BC$. В силу симметрии $ \angle KBC= \angle DBC= \alpha, BK=BP=BD, \angle KCB=\angle DCB=\beta, CK=CQ=CD$ По условию получается $\angle ABK=120-2\alpha, \angle ACK=120-2\beta \Rightarrow \angle PBD= \angle DCQ=60^\circ \Rightarrow \triangle BPD, \triangle CDQ$ равносторонние. $\angle BDC$ общий $\Rightarrow \triangle PDC= \triangle BDQ \Rightarrow PC=BQ$