Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур регионального этапа

Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ такая, что $\angle KCB+\angle ACB = \angle KBC+\angle ABC = 120^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ таким образом, что $BK = BP$ и $CK = CQ$. Докажите, что $BQ = CP$.

Комментарий/решение

Пусть $K'$ - симметрична $K$ относительно $BC$, тогда $\angle ACK'=\angle ABK'=120 => \angle K'CQ=\angle K'BP = 60$, $ BK=BP=BK', CK=CQ=CK'$ откуда $\triangle CK'Q, \triangle BK'P$ - равносторонние. Теперь, т.к. $\angle PK'C=\angle QK'B=60+\angle BK'C => \triangle PK'C=\triangle QK'B$ по углу и двум сторонам, значит $BQ=CP$ ч.т.д.