Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур регионального этапа

$ABC$ үшбұрышының ішінде $\angle KCB+\angle ACB = \angle KBC+\angle ABC = 120^\circ$ болатындай $K$ нүктесі таңдалады. $AB$ қабырғасының $B$-дан әрі созындысында $P$ нүктесі, ал $AC$ қабырғасының $C$-дан әрі созындысында $Q$ нүктесі $BK = BP$ және $CK = CQ$ болатындай етіп таңдалған. $BQ = CP$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $K'$ - симметрична $K$ относительно $BC$, тогда $\angle ACK'=\angle ABK'=120 => \angle K'CQ=\angle K'BP = 60$, $BK=BP=BK', CK=CQ=CK'$ откуда $\triangle CK'Q, \triangle BK'P$ - равносторонние. Теперь, т.к. $\angle PK'C=\angle QK'B=60+\angle BK'C => \triangle PK'C=\triangle QK'B$ по углу и двум сторонам, значит $BQ=CP$ ч.т.д.