Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1. Найдутся ли такие 15 идущих подряд целых чисел, что сумма четырех наименьших из них равна сумме одиннадцати остальных?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?
комментарий/решение(1)

Задача №3. По окружности расставили 2023 числа, наименьшее из которых равно 0, а наибольшее равно

$N$ . Для каждых двух чисел, стоящих на окружности рядом, на доску выписали их сумму. Оказалось, что любые два числа на доске отличаются не более чем на 1. Каково наибольшее возможное значение

$N$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Внутри треугольника

$ABC$ выбрана точка

$K$ такая, что

$\angle KCB+\angle ACB = \angle KBC+\angle ABC = 120^\circ$ . На продолжении стороны

$AB$ за точку

$B$ выбрана точка

$P$ , а на продолжении стороны

$AC$ за точку

$C$ — точка

$Q$ таким образом, что

$BK = BP$ и

$CK = CQ$ . Докажите, что

$BQ = CP$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Правильный треугольник

$T$ со стороной 111 разбит на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме находящейся в центре

$T$ , отмечены. Назовём множество отмеченных точек линейным, если все его точки лежат на одной прямой, параллельной стороне треугольника

$T$ . Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств?
комментарий/решение