қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур регионального этапа
Задача №1. Найдутся ли такие 15 идущих подряд целых чисел, что сумма четырех наименьших из них равна сумме одиннадцати остальных?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. По окружности расставили 2023 числа, наименьшее из которых равно 0, а наибольшее равно $N$. Для каждых двух чисел, стоящих на окружности рядом, на доску выписали их сумму. Оказалось, что любые два числа на доске отличаются не более чем на 1. Каково наибольшее возможное значение $N$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ такая, что $\angle KCB+\angle ACB = \angle KBC+\angle ABC = 120^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ таким образом, что $BK = BP$ и $CK = CQ$. Докажите, что $BQ = CP$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Правильный треугольник $T$ со стороной 111 разбит на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме находящейся в центре $T$, отмечены. Назовём множество отмеченных точек линейным, если все его точки лежат на одной прямой, параллельной стороне треугольника $T$. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств?
комментарий/решение
комментарий/решение