Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год

Есеп №1. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. $AB$ және $AC$ кесінділерінде, сәйкесінше, $D$ және $E$ нүктелері $BC\parallel DE$ болатындай белгіленген. $X$ — $BCED$ төртбұрышының ішінде жатқан нүкте. $DX$ және $EX$ сәулелері $BC$ қабырғасын, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды (мұнда $P$ және $Q$ нүктелері $B$ мен $C$ арасында жатыр). $BQX$ және $CPX$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $Y$ нүктесінде қиылысады. $A$, $X$ және $Y$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Өлшемі $100\times 100$ ұяшықты тақта берілген. Кез келген $1\le a,b\le 100$ натурал сандары үшін нөмірі $a$ болатын қатар мен нөмірі $b$ болатын бағанның қиылысындағы ұяшықты $(a,b)$ арқылы белгілейік. $k$ саны, $51\le k\le 99$ болатындай, бүтін сан. $k$-ретті Ат фигурасы деп бір ұяшыққа вертикаль немесе горизонталь бағытта, ал кейін $k$ ұяшыққа басқа бағытта жүретін фигураны айтайық, яғни ол ${(a,b)}$ ұяшығынан ${(c,d)}$ ұяшығына жүрсе, онда $({|a-c|},{|b-d|})={(1,k)}$, немесе $({|a-c|},{|b-d|})= {(k,1)}$ теңдіктері орындалады. $k$-ретті ат жүрісін ${(1,1)}$ ұяшығынан бастап бірнеше жүріс жүреді. Жүрістер тізбегі деп ${(x_0,y_0)}={(1,1)}$, ${(x_1,y_1)}$, ${(x_2,y_2)}$, $\ldots$, ${(x_n,y_n)}$ ұяшықтар тізбегін айтамыз, мұнда барлық $i=1,2,\ldots,n$, $1\le x_i,y_i\le 100$ үшін $k$-ретті ат ${(x_{i-1},y_{i-1})}$ ұяшығынан ${(x_i,y_i)}$ ұяшығына жүре алады. Бұл жағдайда әр ${(x_i,y_i)}$ ұяшығын қол жетімді ұяшық деп атаймыз. Әр $k$ саны үшін қол жетімді $L(k)$ ұяшықтар санын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №3. $n$ — натурал, ал $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — нақты оң сандар болсын. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$\sum_{i=1}^n\frac1{2^i}\left(\frac2{1+a_i}\right)^{2^i} \ge \frac2{1+a_1a_2\ldots a_n} - \frac1{2^n}.$$
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген натурал $t$ саны үшін, әрбір ${0 \le i \le t-1}$ үшін $2a_i \ne t +i$ және $C_{t+i}^{2a_i}$ биномдық коэффициенті тақ сан болатындай $0,1,\ldots,{t-1}$ сандарының тек жалғыз $a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ орын ауыстыруы бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. $\ell$ түзуі іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $BC$ және $AD$ қабырғаларын, сәйкесінше, ішкі $R$ және $S$ нүктелерінде, $DC$ сәулесін ($C$-дан әрі) $Q$, $BA$ сәулесін ($A$-дан әрі) $P$ нүктесінде қияды. $QCR$ және $QDS$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $N \neq Q$, ал $PAS$ және $PBR$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $M \neq P$ нүктесінде қиылысады. $MP$ және $NQ$ түзулері $X$, $AB$ және $CD$ түзулері $K$, $BC$ және $AD$ түзулері $L$ нүктесінде қиылыссын. $X$ нүктесі $KL$ түзуінің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

результаты