Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год

Есеп №1. Сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$AB$ және

$AC$ кесінділерінде, сәйкесінше,

$D$ және

$E$ нүктелері

$BC\parallel DE$ болатындай белгіленген.

$X$ —

$BCED$ төртбұрышының ішінде жатқан нүкте.

$DX$ және

$EX$ сәулелері

$BC$ қабырғасын, сәйкесінше,

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды (мұнда

$P$ және

$Q$ нүктелері

$B$ мен

$C$ арасында жатыр).

$BQX$ және

$CPX$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$Y$ нүктесінде қиылысады.

$A$ ,

$X$ және

$Y$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Өлшемі

$100\times 100$ ұяшықты тақта берілген. Кез келген

$1\le a,b\le 100$ натурал сандары үшін нөмірі

$a$ болатын қатар мен нөмірі

$b$ болатын бағанның қиылысындағы ұяшықты

$(a,b)$ арқылы белгілейік.

$k$ саны,

$51\le k\le 99$ болатындай, бүтін сан. $k$ -ретті Ат фигурасы деп бір ұяшыққа вертикаль немесе горизонталь бағытта, ал кейін

$k$ ұяшыққа басқа бағытта жүретін фигураны айтайық, яғни ол

${(a,b)}$ ұяшығынан

${(c,d)}$ ұяшығына жүрсе, онда

$({|a-c|},{|b-d|})={(1,k)}$ , немесе

$({|a-c|},{|b-d|})= {(k,1)}$ теңдіктері орындалады.

$k$ -ретті ат жүрісін

${(1,1)}$ ұяшығынан бастап бірнеше жүріс жүреді. Жүрістер тізбегі деп

${(x_0,y_0)}={(1,1)}$ ,

${(x_1,y_1)}$ ,

${(x_2,y_2)}$ ,

$\ldots$ ,

${(x_n,y_n)}$ ұяшықтар тізбегін айтамыз, мұнда барлық

$i=1,2,\ldots,n$ ,

$1\le x_i,y_i\le 100$ үшін

$k$ -ретті ат

${(x_{i-1},y_{i-1})}$ ұяшығынан

${(x_i,y_i)}$ ұяшығына жүре алады. Бұл жағдайда әр

${(x_i,y_i)}$ ұяшығын қол жетімді ұяшық деп атаймыз. Әр

$k$ саны үшін қол жетімді

$L(k)$ ұяшықтар санын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №3.

$n$ — натурал, ал

$a_1,a_2,\ldots,a_n$ — нақты оң сандар болсын. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\sum_{i=1}^n\frac1{2^i}\left(\frac2{1+a_i}\right)^{2^i} \ge \frac2{1+a_1a_2\ldots a_n} - \frac1{2^n}.$
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген натурал

$t$ саны үшін, әрбір

${0 \le i \le t-1}$ үшін

$2a_i \ne t +i$ және

$C_{t+i}^{2a_i}$ биномдық коэффициенті тақ сан болатындай

$0,1,\ldots,{t-1}$ сандарының тек жалғыз

$a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ орын ауыстыруы бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$\ell$ түзуі іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының

$BC$ және

$AD$ қабырғаларын, сәйкесінше, ішкі

$R$ және

$S$ нүктелерінде,

$DC$ сәулесін (

$C$ -дан әрі)

$Q$ ,

$BA$ сәулесін (

$A$ -дан әрі)

$P$ нүктесінде қияды.

$QCR$ және

$QDS$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$N \neq Q$ , ал

$PAS$ және

$PBR$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$M \neq P$ нүктесінде қиылысады.

$MP$ және

$NQ$ түзулері

$X$ ,

$AB$ және

$CD$ түзулері

$K$ ,

$BC$ және

$AD$ түзулері

$L$ нүктесінде қиылыссын.

$X$ нүктесі

$KL$ түзуінің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

результаты