Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год

Докажите, что для каждого натурального числа $t$ существует единственная перестановка $a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ чисел $0,1,\ldots,{t-1}$ такая, что для каждого ${0 \le i \le t-1}$ выполнено: $2a_i \ne t +i$ и биномиальный коэффициент $C_{t+i}^{2a_i}$ является нечетным числом.