Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год
Задача №1. Дан остроугольный треугольник ABC. На отрезках AB и AC отмечены точки D и E соответственно так, что BC∥DE. Пусть X — внутренняя точка четырехугольника BCED. Предположим, что лучи DX и EX пересекают сторону BC в точках P и Q соответственно, причем и P, и Q лежат между B и C. Пусть описанные окружности треугольников BQX и CPX во второй раз пересекаются в точке Y. Докажите, что точки A, X и Y лежат на одной прямой.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Рассмотрим клетчатую таблицу 100×100 и определим клетку упорядоченной парой (a,b), если она находится на пересечении строки с номером a и столбца с номером b, здесь 1≤a,b≤100 — натуральные числа. Пусть k — целое число такое, что 51≤k≤99. Конём k-го порядка назовём фигуру, которая ходит на одну клетку вертикально или горизонтально, а затем на k клеток в другом направлении; то есть, она ходит из клетки (a,b) в (c,d) так, что (|a−c|,|b−d|)=(1,k), либо (|a−c|,|b−d|)=(k,1). Конь k-го порядка начинает движение из клетки (1,1) и совершает несколько ходов. Последовательность ходов — это последовательность клеток (x0,y0)=(1,1), (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn) таких, что для всех i=1,2,…,n, 1≤xi,yi≤100, конь k-го порядка может перейти из (xi−1,yi−1) в (xi,yi). В этом случае каждая клетка (xi,yi) называется достижимой. Для каждого k найдите количество L(k) достижимых клеток.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Пусть n — натуральное число, а a1,a2,…,an — положительные вещественные числа. Докажите неравенство: n∑i=112i(21+ai)2i≥21+a1a2…an−12n.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что для каждого натурального числа t существует единственная перестановка a0,a1,…,at−1 чисел 0,1,…,t−1 такая, что для каждого 0≤i≤t−1 выполнено: 2ai≠t+i и биномиальный коэффициент C2ait+i является нечетным числом.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Прямая ℓ пересекает стороны BC и AD, вписанного четырехугольника ABCD, в его внутренних точках R и S соответственно, а также пересекает луч DC (за точку C) в точке Q, а луч BA (за точку A) — в точке P. Описанные окружности треугольников QCR и QDS пересекаются в точке N≠Q, а описанные окружности треугольников PAS и PBR пересекаются в точке M≠P. Пусть прямые MP и NQ пересекаются в точке X, прямые AB и CD — в точке K, а прямые BC и AD — в точке L. Докажите, что точка X лежит на прямой KL.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)