Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год

Задача №1. Дан остроугольный треугольник $ABC$. На отрезках $AB$ и $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $BC\parallel DE$. Пусть $X$ — внутренняя точка четырехугольника $BCED$. Предположим, что лучи $DX$ и $EX$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, причем и $P$, и $Q$ лежат между $B$ и $C$. Пусть описанные окружности треугольников $BQX$ и $CPX$ во второй раз пересекаются в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $X$ и $Y$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2. Рассмотрим клетчатую таблицу $100\times 100$ и определим клетку упорядоченной парой $(a,b)$, если она находится на пересечении строки с номером $a$ и столбца с номером $b$, здесь $1\le a,b\le 100$ — натуральные числа. Пусть $k$ — целое число такое, что $51\le k\le 99$. Конём $k$-го порядка назовём фигуру, которая ходит на одну клетку вертикально или горизонтально, а затем на $k$ клеток в другом направлении; то есть, она ходит из клетки ${(a,b)}$ в ${(c,d)}$ так, что $({|a-c|},{|b-d|})={(1,k)}$, либо $({|a-c|},{|b-d|})= {(k,1)}$. Конь $k$-го порядка начинает движение из клетки ${(1,1)}$ и совершает несколько ходов. Последовательность ходов — это последовательность клеток ${(x_0,y_0)}={(1,1)}$, ${(x_1,y_1)}$, ${(x_2,y_2)}$, $\ldots$, ${(x_n,y_n)}$ таких, что для всех $i=1,2,\ldots,n$, $1\le x_i,y_i\le 100$, конь $k$-го порядка может перейти из ${(x_{i-1},y_{i-1})}$ в ${(x_i,y_i)}$. В этом случае каждая клетка ${(x_i,y_i)}$ называется достижимой. Для каждого $k$ найдите количество $L(k)$ достижимых клеток.
комментарий/решение

---

Задача №3. Пусть $n$ — натуральное число, а $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — положительные вещественные числа. Докажите неравенство: $$\sum_{i=1}^n\frac1{2^i}\left(\frac2{1+a_i}\right)^{2^i} \ge \frac2{1+a_1a_2\ldots a_n} - \frac1{2^n}.$$
комментарий/решение

---

Задача №4. Докажите, что для каждого натурального числа $t$ существует единственная перестановка $a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ чисел $0,1,\ldots,{t-1}$ такая, что для каждого ${0 \le i \le t-1}$ выполнено: $2a_i \ne t +i$ и биномиальный коэффициент $C_{t+i}^{2a_i}$ является нечетным числом.
комментарий/решение

---

Задача №5. Прямая $\ell$ пересекает стороны $BC$ и $AD$, вписанного четырехугольника $ABCD$, в его внутренних точках $R$ и $S$ соответственно, а также пересекает луч $DC$ (за точку $C$) в точке $Q$, а луч $BA$ (за точку $A$) — в точке $P$. Описанные окружности треугольников $QCR$ и $QDS$ пересекаются в точке $N \neq Q$, а описанные окружности треугольников $PAS$ и $PBR$ пересекаются в точке $M \neq P$. Пусть прямые $MP$ и $NQ$ пересекаются в точке $X$, прямые $AB$ и $CD$ — в точке $K$, а прямые $BC$ и $AD$ — в точке $L$. Докажите, что точка $X$ лежит на прямой $KL$.
комментарий/решение(4)

---