Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год

Пусть $n$ — натуральное число, а $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — положительные вещественные числа. Докажите неравенство: $$\sum_{i=1}^n\frac1{2^i}\left(\frac2{1+a_i}\right)^{2^i} \ge \frac2{1+a_1a_2\ldots a_n} - \frac1{2^n}.$$