Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год

Прямая $\ell$ пересекает стороны $BC$ и $AD$, вписанного четырехугольника $ABCD$, в его внутренних точках $R$ и $S$ соответственно, а также пересекает луч $DC$ (за точку $C$) в точке $Q$, а луч $BA$ (за точку $A$) — в точке $P$. Описанные окружности треугольников $QCR$ и $QDS$ пересекаются в точке $N \neq Q$, а описанные окружности треугольников $PAS$ и $PBR$ пересекаются в точке $M \neq P$. Пусть прямые $MP$ и $NQ$ пересекаются в точке $X$, прямые $AB$ и $CD$ — в точке $K$, а прямые $BC$ и $AD$ — в точке $L$. Докажите, что точка $X$ лежит на прямой $KL$.

Комментарий/решение

1)Точки $M, N, P, Q$ лежат на одной окружности.

Так как $M$ точка Микеля четырхеугольника $ABRS$, точки $L, M, S, R$ лежат на одной окружности. Аналогично, точки $ L, N, S, R$ лежат на одной окружности.

Используя вписанные углы получаем:

$\angle NMP=\angle NMS+\angle SMP= \angle NRQ+\angle SAP=\angle NRQ+\angle DCB=\angle NRQ+\angle RNQ= 180 - \angle NQR$

из чего следует что $MNQP$ вписанный.

Пусть $E$ точка Микеля $ABCD$. Понятно $E$ лежит на $KL$. Пусть $NQ$ пересекает $KL$ в точке $T$. Тогда $\angle TNM=\angle MPQ=\angle MAL= 180-\angle TEM$.

Значит $T$ лежит на $EMN$. Если $T=E$, тогда

$180- \angle ENM = \angle LEM$, то есть $KL$ касается $EMN$.

Если $KL$ пересекает $MP$ в точке $S$, то аналогичным образом $S$ будет лежать на $(EMN)$, значит если $S=E$, то $T=E=S$, так как $KL$ касается $(EMN)$, а если $T≠E$ и $S≠E$, то $T=S$, из того что прямая $KL$ пересекается с $(EMN)$ не более чем в двух точках. В любом случаи $MP$ и $NQ$ пересекаются на $KL$.

На самом деле вы ошибаетесь, равенство $\angle TNM=\angle MPQ$ выполняется для любой точки на луче $NQ$.

Из свойства точки Микеля понятно что $(LMSRN)$. $(LMSRN) \cap KL=E$.

$1$)$M,N,P,Q$ вписаный:

$\angle PMN=\angle PMS+\angle NMS=\angle PAS+\angle NRQ=\angle BCD+\angle NCQ=180-\angle BCN=180-\angle PQN$

$2$)$M,P,K,E$ вписаный:

$\angle MEL=\angle MSL=\angle MPA$.

$3$)$Q,E,N,K$ вписаный:

$\angle NEL=\angle CRN=\angle NQK$

Отсюда прямые $MP,NQ,KE$ являются рад осями трех окружностей $(MNPQ),(QENK),(MPKE)$ следовательно они пересекаются в одной точке.