Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год
Комментарий/решение:
1)Точки M,N,P,Q лежат на одной окружности.
Так как M точка Микеля четырхеугольника ABRS, точки L,M,S,R лежат на одной окружности. Аналогично, точки L,N,S,R лежат на одной окружности.
Используя вписанные углы получаем:
∠NMP=∠NMS+∠SMP=∠NRQ+∠SAP=∠NRQ+∠DCB=∠NRQ+∠RNQ=180−∠NQR
из чего следует что MNQP вписанный.
Пусть E точка Микеля ABCD. Понятно E лежит на KL. Пусть NQ пересекает KL в точке T. Тогда ∠TNM=∠MPQ=∠MAL=180−∠TEM.
Значит T лежит на EMN. Если T=E, тогда
180−∠ENM=∠LEM, то есть KL касается EMN.
Если KL пересекает MP в точке S, то аналогичным образом S будет лежать на (EMN), значит если S=E, то T=E=S, так как KL касается (EMN), а если T≠E и S≠E, то T=S, из того что прямая KL пересекается с (EMN) не более чем в двух точках. В любом случаи MP и NQ пересекаются на KL.
Из свойства точки Микеля понятно что (LMSRN). (LMSRN)∩KL=E.
1)M,N,P,Q вписаный:
∠PMN=∠PMS+∠NMS=∠PAS+∠NRQ=∠BCD+∠NCQ=180−∠BCN=180−∠PQN
2)M,P,K,E вписаный:
∠MEL=∠MSL=∠MPA.
3)Q,E,N,K вписаный:
∠NEL=∠CRN=∠NQK
Отсюда прямые MP,NQ,KE являются рад осями трех окружностей (MNPQ),(QENK),(MPKE) следовательно они пересекаются в одной точке.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.