Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год


Прямая пересекает стороны BC и AD, вписанного четырехугольника ABCD, в его внутренних точках R и S соответственно, а также пересекает луч DC (за точку C) в точке Q, а луч BA (за точку A) — в точке P. Описанные окружности треугольников QCR и QDS пересекаются в точке NQ, а описанные окружности треугольников PAS и PBR пересекаются в точке MP. Пусть прямые MP и NQ пересекаются в точке X, прямые AB и CD — в точке K, а прямые BC и AD — в точке L. Докажите, что точка X лежит на прямой KL.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   9
8 месяца 10 дней назад #

1)Точки M,N,P,Q лежат на одной окружности.

Так как M точка Микеля четырхеугольника ABRS, точки L,M,S,R лежат на одной окружности. Аналогично, точки L,N,S,R лежат на одной окружности.

Используя вписанные углы получаем:

NMP=NMS+SMP=NRQ+SAP=NRQ+DCB=NRQ+RNQ=180NQR

из чего следует что MNQP вписанный.

Пусть E точка Микеля ABCD. Понятно E лежит на KL. Пусть NQ пересекает KL в точке T. Тогда TNM=MPQ=MAL=180TEM.

Значит T лежит на EMN. Если T=E, тогда

180ENM=LEM, то есть KL касается EMN.

Если KL пересекает MP в точке S, то аналогичным образом S будет лежать на (EMN), значит если S=E, то T=E=S, так как KL касается (EMN), а если TE и SE, то T=S, из того что прямая KL пересекается с (EMN) не более чем в двух точках. В любом случаи MP и NQ пересекаются на KL.

пред. Правка 2   0
8 месяца 9 дней назад #

  8
8 месяца 9 дней назад #

На самом деле вы ошибаетесь, равенство TNM=MPQ выполняется для любой точки на луче NQ.

  0
5 месяца 8 дней назад #

Из свойства точки Микеля понятно что (LMSRN). (LMSRN)KL=E.

1)M,N,P,Q вписаный:

PMN=PMS+NMS=PAS+NRQ=BCD+NCQ=180BCN=180PQN

2)M,P,K,E вписаный:

MEL=MSL=MPA.

3)Q,E,N,K вписаный:

NEL=CRN=NQK

Отсюда прямые MP,NQ,KE являются рад осями трех окружностей (MNPQ),(QENK),(MPKE) следовательно они пересекаются в одной точке.