Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Есеп №1. Нақты

$a$ мен

$b$ сандары үшін

$a+b=ab=19$ теңдігі орындалады.

$(a^2-19a)\left(b+\frac{19}{b}\right)$ өрнегінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение(5)

Есеп №2. Оң

$a,b,c,d$ сандары үшін, барлық

$ab,bc,cd,da,ac,bd,abc,abd,acd,bcd,abcd$ сандары бүтін сандар екені белгілі. «

$a,b,c,d$ сандарының кемінде біреуі бүтін» деген тұжырым әрқашан да дұрыс па?
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Мектепте 2024 оқушы оқиды, олардың кейбірі бір-бірімен дос. Әр оқушының достар саны 40-тан аспайтыны белгілі. Араларында ешкім ешкіммен дос емес 50 оқушы табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Сүйір бұрышты

$ABC$ (

$AB>BC$ ) үшбұрыштың биссектрисалары

$I$ , ал биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады.

$P$ нүктесі

$AHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. Егер

$I$ нүктесі

$BP$ кесіндісінде жатса,

$\angle ABC$ -ны табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABCD$ параллелограмы берілген. Оның ішінен

$AB=AK$ болатындай

$K$ нүктесі белгіленген.

$M$ мен

$N$ нүктелері, сәйкесінше,

$CK$ мен

$AD$ кесінділерінің орталары болсын.

${BK \perp MN}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Қуаныш тақтаға барлық 10 әріпті сөздерді бір бірден жазып шықты (сөздердің мағынасы болуы міндетті емес). Әр сөзде әр әріп немесе А, немесе Б әрпі болып келеді. Егер екі сөздің кемінде 7 жайғасуында өзгешелік болса, ондай екі сөзді ұқсас емес сөздер деп атаймыз. Тақтаданы неше сөз бір уақытта АААААААААА сөзіне де, АААААААБББ сөзіне де ұқсас емес?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Оқушы сатып алған калькуляторда <<

$4x-1$ >> батырмасы бар, оны басқан кезде енгізілген

$x$ саны

$4x-1$ санына ауысады (мысалға,

$5$ -ті енгізіп, сол батырманы басса, калькулятор

$19$ -ды көрсетеді). Оқушы калькуляторға қайсыбір жай санды енгізіп, сосын сол батырманы бірнеше рет басты. Әр басқан кезде жаңа нәтиже жай сан болып отырған. Оқушы ең көп дегенде батырманы неше рет баса алған?
комментарий/решение(2)

Есеп №8. Балабақшадағы жаңа жылдық шыршада Аяз ата бүлдіршіндерге көп кәмпит таратты. Шыршада 100 бүлдіршін болды, әрі олардың кез келген 66-уының кәмпиттер саны барлық кәмпит санының

$50\%$ -нан кем болмаған. Шыршаға қатысқан Аманжол барлық кәмпиттің ең көп дегенде неше пайызын ала алған? (Жауаптағы пайыз саны бүтін сан болуы міндетті емес.)
комментарий/решение(1)