Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Куаныш выписал на доску по одному разу все 10-буквенные слова (не обязательно осмысленные), в каждом из которых каждая буква — это А или Б. Два слова он называет не похожими друг на друга, если они различаются хотя бы в семи позициях. Сколько слов на доске не похожи одновременно и на АААААААААА, и на АААААААБББ?

Комментарий/решение

Назовём $АААААААААА$ -первым словом, а $АААААААБББ$ -вторым словом.Назовём хорошим слово, не похожее одновременно на оба этих слова.Разберем 2 случая:

1)Пусть в 10-буквенном хорошем слове последние 3 буквы одинаковые.Пусть это $ААА$.Это хорошее слово должно различаться хотя бы в $7$ позициях с первым словом , поэтому его первые $7$ букв $- это$ $БББББББ$,и такое слово единственно.В случае,если хорошее слово заканчивается на $БББ$,слово тоже единственно,по аналогичным причинам его первые $7$ букв $-$ $это$ $БББББББ$.Итого здесь получаем $2$ хороших слова.

2)Пусть в 10-буквенном хорошем слове среди последних 3 букв есть различные буквы,т.е. 2 буквы одинаковые и одно от них отличается.Есть $6$ случаев,какие это буквы:$ААБ,АБА,БАА,ББА,БАБ,АББ$, и все эти случаи разбираются тоже аналогично.Пусть например хорошее слово заканчивается на $ААБ$.Поскольку это хорошее слово должно различаться хотя бы в $7$ позициях с первым словом,то среди его первых $7$ букв должно быть не более $1$ буквы $А$.Ясно,что таких вариантов $7+1=8$.Итого здесь получаем $6*8=48$ хороших слов.

Итого имеем $2+48=50$ хороших слов.