Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Қуаныш тақтаға барлық 10 әріпті сөздерді бір бірден жазып шықты (сөздердің мағынасы болуы міндетті емес). Әр сөзде әр әріп немесе А, немесе Б әрпі болып келеді. Егер екі сөздің кемінде 7 жайғасуында өзгешелік болса, ондай екі сөзді ұқсас емес сөздер деп атаймыз. Тақтаданы неше сөз бір уақытта АААААААААА сөзіне де, АААААААБББ сөзіне де ұқсас емес?

Комментарий/решение

Назовём $АААААААААА$ -первым словом, а $АААААААБББ$ -вторым словом.Назовём хорошим слово, не похожее одновременно на оба этих слова.Разберем 2 случая:

1)Пусть в 10-буквенном хорошем слове последние 3 буквы одинаковые.Пусть это $ААА$.Это хорошее слово должно различаться хотя бы в $7$ позициях с первым словом , поэтому его первые $7$ букв $- это$ $БББББББ$,и такое слово единственно.В случае,если хорошее слово заканчивается на $БББ$,слово тоже единственно,по аналогичным причинам его первые $7$ букв $-$ $это$ $БББББББ$.Итого здесь получаем $2$ хороших слова.

2)Пусть в 10-буквенном хорошем слове среди последних 3 букв есть различные буквы,т.е. 2 буквы одинаковые и одно от них отличается.Есть $6$ случаев,какие это буквы:$ААБ,АБА,БАА,ББА,БАБ,АББ$, и все эти случаи разбираются тоже аналогично.Пусть например хорошее слово заканчивается на $ААБ$.Поскольку это хорошее слово должно различаться хотя бы в $7$ позициях с первым словом,то среди его первых $7$ букв должно быть не более $1$ буквы $А$.Ясно,что таких вариантов $7+1=8$.Итого здесь получаем $6*8=48$ хороших слов.

Итого имеем $2+48=50$ хороших слов.