Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Задача №1. Действительные числа $a$ и $b$ таковы, что $a+b=ab=19$. Найдите значение выражения $$(a^2-19a)\left(b+\frac{19}{b}\right).$$
комментарий/решение(3)

Задача №2. Положительные числа $a,b,c,d$ таковы, что все числа $$ab,bc,cd,da,ac,bd,abc,abd,acd,bcd,abcd$$ являются целыми. Верно ли, что хотя бы одно из чисел $a,b,c,d$ всегда является целым?
комментарий/решение(2)

Задача №3. В школе учится 2024 человека, некоторые из них друг с другом дружат. Известно, что у каждого человека не более 40 друзей. Докажите, что найдутся 50 человек, среди которых никто ни с кем не дружит.
комментарий/решение(1)

Задача №4. В остроугольном треугольнике $ABC$, в котором $AB>BC$, $I$ --- точка пересечения биссектрис, а $H$ — его точка пересечения высот. Пусть $P$ — центр описанной окружности треугольника $AHC$. Оказалось, что точка $I$ лежит на отрезке $BP$. Найдите $\angle ABC$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан параллелограмм $ABCD$. Точка $K$ внутри него такова, что $AB=AK$. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $CK$ и $AD$ соответственно. Докажите, что прямые $BK$ и $MN$ перпендикулярны.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Куаныш выписал на доску по одному разу все 10-буквенные слова (не обязательно осмысленные), в каждом из которых каждая буква — это А или Б. Два слова он называет не похожими друг на друга, если они различаются хотя бы в семи позициях. Сколько слов на доске не похожи одновременно и на АААААААААА, и на АААААААБББ?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Мальчик купил себе калькулятор, на котором есть кнопка <<$4x-1$>>, при нажатии на которую число $x$ заменяется на $4x-1$ (например, если ввести $5$ и нажать на эту кнопку, то результатом будет число $19$). Мальчик ввёл некоторое простое число, а затем сколько-то раз нажал на эту кнопку. Каждый раз результат оказывался простым числом. Какое наибольшее число раз мальчик мог нажать на эту кнопку?
комментарий/решение(2)

Задача №8. В детском саду на новогоднем утреннике Дед Мороз раздал детям много конфет. Детей на утреннике было 100, и у любых 66 из них суммарно оказалось не менее $50\%$ от общего количества конфет. Какой наибольший процент от общего количества конфет мог получить сладкоежка Аманжол? (Процент от общего количества конфет может быть нецелым.)
комментарий/решение(1)