Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Задача №1. Действительные числа

$a$ и

$b$ таковы, что

$a+b=ab=19$ . Найдите значение выражения

$(a^2-19a)\left(b+\frac{19}{b}\right).$
комментарий/решение(5)

Задача №2. Положительные числа

$a,b,c,d$ таковы, что все числа

$ab,bc,cd,da,ac,bd,abc,abd,acd,bcd,abcd$ являются целыми. Верно ли, что хотя бы одно из чисел

$a,b,c,d$ всегда является целым?
комментарий/решение(2)

Задача №3. В школе учится 2024 человека, некоторые из них друг с другом дружат. Известно, что у каждого человека не более 40 друзей. Докажите, что найдутся 50 человек, среди которых никто ни с кем не дружит.
комментарий/решение(1)

Задача №4. В остроугольном треугольнике

$ABC$ , в котором

$AB>BC$ ,

$I$ --- точка пересечения биссектрис, а

$H$ — его точка пересечения высот. Пусть

$P$ — центр описанной окружности треугольника

$AHC$ . Оказалось, что точка

$I$ лежит на отрезке

$BP$ . Найдите

$\angle ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан параллелограмм

$ABCD$ . Точка

$K$ внутри него такова, что

$AB=AK$ . Пусть

$M$ и

$N$ — середины отрезков

$CK$ и

$AD$ соответственно. Докажите, что прямые

$BK$ и

$MN$ перпендикулярны.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Куаныш выписал на доску по одному разу все 10-буквенные слова (не обязательно осмысленные), в каждом из которых каждая буква — это А или Б. Два слова он называет не похожими друг на друга, если они различаются хотя бы в семи позициях. Сколько слов на доске не похожи одновременно и на АААААААААА, и на АААААААБББ?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Мальчик купил себе калькулятор, на котором есть кнопка <<

$4x-1$ >>, при нажатии на которую число

$x$ заменяется на

$4x-1$ (например, если ввести

$5$ и нажать на эту кнопку, то результатом будет число

$19$ ). Мальчик ввёл некоторое простое число, а затем сколько-то раз нажал на эту кнопку. Каждый раз результат оказывался простым числом. Какое наибольшее число раз мальчик мог нажать на эту кнопку?
комментарий/решение(2)

Задача №8. В детском саду на новогоднем утреннике Дед Мороз раздал детям много конфет. Детей на утреннике было 100, и у любых 66 из них суммарно оказалось не менее

$50\%$ от общего количества конфет. Какой наибольший процент от общего количества конфет мог получить сладкоежка Аманжол? (Процент от общего количества конфет может быть нецелым.)
комментарий/решение(1)