Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Дан параллелограмм $ABCD$. Точка $K$ внутри него такова, что $AB=AK$. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $CK$ и $AD$ соответственно. Докажите, что прямые $BK$ и $MN$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

$L$ - точка, симметричная $K$ относительно середины $AD$. $LD=DC\Leftrightarrow$ биссектриса угла $LDC$ перпендикулярна $LC$. Так как $KN=NL,KM,MC$ выходит, что $MN$ - средняя линия $\triangle KCL$, то есть $MN||KL$.

$$\angle CDL+\angle BAK=180^\circ,$$

поэтому $BK$ параллелен биссектрисе $\angle LDC$, то есть перпендикулярен $MN$.