Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

$ABCD$ параллелограмы берілген. Оның ішінен $AB=AK$ болатындай $K$ нүктесі белгіленген. $M$ мен $N$ нүктелері, сәйкесінше, $CK$ мен $AD$ кесінділерінің орталары болсын. ${BK \perp MN}$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$L$ - точка, симметричная $K$ относительно середины $AD$. $LD=DC\Leftrightarrow$ биссектриса угла $LDC$ перпендикулярна $LC$. Так как $KN=NL,KM,MC$ выходит, что $MN$ - средняя линия $\triangle KCL$, то есть $MN||KL$.

$$\angle CDL+\angle BAK=180^\circ,$$

поэтому $BK$ параллелен биссектрисе $\angle LDC$, то есть перпендикулярен $MN$.