Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Сүйір бұрышты $ABC$ ($AB>BC$) үшбұрыштың биссектрисалары $I$, ал биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі $AHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. Егер $I$ нүктесі $BP$ кесіндісінде жатса, $\angle ABC$-ны табыңыз.

Комментарий/решение

Так как $AB≠BC$ то пересечение серединного перпендикуляра к $AC$ с биссектрисой $\angle ABC$ лежит на окружности $(ABC)$. То есть $P$ лежит на $(ABC)$. Отсюда:

$\angle ABC= 180 - \angle APC= 180-(180- \angle AHC)*2=180- \angle ABC *2.$.

Отсюда:$\angle ABC=60$

Мне кажется вы чуть перемудрили, можно намного легче вот так:

$\dfrac{\sin ABP}{\sin BAP}=\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{PC}{BP}=\dfrac{\sin PBC}{\sin BCP} \Longrightarrow \sin BAP=\sin BCP \longrightarrow \angle BCP+\angle BAP=180$ откуда $ABCP$ вписан. $\angle ABC=180-\angle APC= 180-2 \cdot \angle ABC \rightarrow \angle ABC=60.$