Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

В остроугольном треугольнике $ABC$, в котором $AB>BC$, $I$ --- точка пересечения биссектрис, а $H$ — его точка пересечения высот. Пусть $P$ — центр описанной окружности треугольника $AHC$. Оказалось, что точка $I$ лежит на отрезке $BP$. Найдите $\angle ABC$.

Комментарий/решение

Так как $AB≠BC$ то пересечение серединного перпендикуляра к $AC$ с биссектрисой $\angle ABC$ лежит на окружности $(ABC)$. То есть $P$ лежит на $(ABC)$. Отсюда:

$\angle ABC= 180 - \angle APC= 180-(180- \angle AHC)*2=180- \angle ABC *2.$.

Отсюда:$\angle ABC=60$