Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Сүйір бұрышты $ABC$ ($AB>BC$) үшбұрыштың биссектрисалары $I$, ал биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі $AHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. Егер $I$ нүктесі $BP$ кесіндісінде жатса, $\angle ABC$-ны табыңыз.

Комментарий/решение

Так как $AB≠BC$ то пересечение серединного перпендикуляра к $AC$ с биссектрисой $\angle ABC$ лежит на окружности $(ABC)$. То есть $P$ лежит на $(ABC)$. Отсюда:

$\angle ABC= 180 - \angle APC= 180-(180- \angle AHC)*2=180- \angle ABC *2.$.

Отсюда:$\angle ABC=60$