28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Задача №1. Пусть $ a, b, c $ — положительные действительные числа, такие что $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}.$ Докажите, что $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.$$
комментарий/решение(1)

---

Задача №2. Пусть $ ABC $ — треугольник, такой что $ AB < AC $. Пусть вневписанная окружность, противоположная вершине $ A $, касается сторон $ AB $, $ AC $ и $ BC $ в точках $ D $, $ E $ и $ F $ соответственно, и пусть $ J $ — её центр. Пусть $ P $ — точка на стороне $ BC $. Окружности, описанные около треугольников $ BDP $ и $ CEP $, пересекаются второй раз в точке $ Q $. Пусть $ R $ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $ A $ на прямую $ FJ $. Докажите, что точки $ P $, $ Q $ и $ R $ коллинеарны. (Вневписанная окружность треугольника $ ABC $, противоположная вершине $ A $, это окружность, которая касается отрезка $ BC $, луча $ AB $ за точкой $ B $ и луча $ AC $ за точкой $ C $.)
комментарий/решение(2)

---

Задача №3. Найдите все тройки положительных целых чисел $ (x, y, z) $, которые удовлетворяют уравнению $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$
комментарий/решение(2)

---

Задача №4. Три друга, Арчи, Билли и Чарли, играют в игру. В начале игры у каждого из них есть кучка в 2024 камешка. Арчи делает первый ход, Билли — второй, Чарли — третий, и они продолжают делать ходы в том же порядке. В каждом ходе игрок, делающий ход, должен выбрать положительное целое число $n$, больше любого ранее выбранного числа любым игроком, взять $2n$ камешков из своей кучки и равномерно распределить их между двумя другими игроками. Если игрок не может сделать ход, игра заканчивается, и этот игрок проигрывает. Определите всех игроков, у которых есть стратегия, позволяющая, независимо от действий двух других игроков, не проиграть игру.
комментарий/решение

---