28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Пусть $ a, b, c $ — положительные действительные числа, такие что $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}.$ Докажите, что $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.$$

Комментарий/решение

$\sum\frac{1}{\sqrt{2(a^2+b^2)}}\le \sum \frac{1}{a+b}=\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{\prod (a+b)}\le \frac{4(a^2+b^2+c^2)}{\prod (a+b)}=\frac{1}{\prod (a+b)}$

Используя AM QM получаем, что

$$ \sqrt{a^2+b^2}\ge \dfrac{\sqrt{2}(a+b)}{2}$$

Аналогично для с^2+а^2 и с^2+b^2, получаем что:

$$\dfrac{2}{\sqrt{2}(a+b)}+\dfrac{2}{\sqrt{2}(a+c)}+\dfrac{2}{\sqrt{2}(c+b)} \le \dfrac{\sqrt{2}}{(a+b)(b+c)(a+c)}$$

Умножим обе части на $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}:$$

$$ \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c}+ \dfrac{1}{c+b} \le \dfrac{1}{(a+b)(b+c)(a+c)}$$

Возьмем общий знаменатель левой части, и умножим все на (a+b)(b+c)(a+c) и расскроем скобки левой части:

$$(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ac)\le1$$

Взяв а^2+b^2+c^2=1/4, и поделя все на 3, получаем

$$1/4\ge(ab+bc+ac)$$

Взяв 1/4=а^2+b^2+c^2:

$$a^2+b^2+c^2\ge(ab+bc+ac)$$

Умножив все на 2, перенося все на левую сторону; $$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \ge 0$$

Пусть $a^2+b^2+c^2=\frac14$

По неравенству КБШ:

$\sqrt{b^2+c^2}\geq\frac{b+c}{\sqrt2}$

Следовательно:

$\frac1{\sqrt{b^2+c^2}}\leq\frac{\sqrt2}{b+c}$

Суммируя циклически получаем:

$\frac1{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac1{\sqrt{c^2+a^2}}+\frac1{\sqrt{a^2+b^2}}\leq\sqrt2\left(\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}\right)$

Достаточно доказать:

$\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}\leq\frac1{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Умножим обе части на общий знаменатель:

$(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)\leq1$

Раскрывая скобки и получаем:

$a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)\leq1$

По неравенству

$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

Следовательно:

$a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)\leq4(a^2+b^2+c^2)=4\cdot\frac14=1$

Ч.Т.Д