28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Пусть $ a, b, c $ — положительные действительные числа, такие что $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}.$ Докажите, что $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.$$

Комментарий/решение

$\sum\frac{1}{\sqrt{2(a^2+b^2)}}\le \sum \frac{1}{a+b}=\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{\prod (a+b)}\le \frac{4(a^2+b^2+c^2)}{\prod (a+b)}=\frac{1}{\prod (a+b)}$