28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Задача №1. Пусть

$a, b, c$ — положительные действительные числа, такие что

$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}.$ Докажите, что

$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$ABC$ — треугольник, такой что

$AB < AC$ . Пусть вневписанная окружность, противоположная вершине

$A$ , касается сторон

$AB$ ,

$AC$ и

$BC$ в точках

$D$ ,

$E$ и

$F$ соответственно, и пусть

$J$ — её центр. Пусть

$P$ — точка на стороне

$BC$ . Окружности, описанные около треугольников

$BDP$ и

$CEP$ , пересекаются второй раз в точке

$Q$ . Пусть

$R$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки

$A$ на прямую

$FJ$ . Докажите, что точки

$P$ ,

$Q$ и

$R$ коллинеарны. (Вневписанная окружность треугольника

$ABC$ , противоположная вершине

$A$ , это окружность, которая касается отрезка

$BC$ , луча

$AB$ за точкой

$B$ и луча

$AC$ за точкой

$C$ .)
комментарий/решение(2)

Задача №3. Найдите все тройки положительных целых чисел

$(x, y, z)$ , которые удовлетворяют уравнению

$2020^x + 2^y = 2024^z.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. Три друга, Арчи, Билли и Чарли, играют в игру. В начале игры у каждого из них есть кучка в 2024 камешка. Арчи делает первый ход, Билли — второй, Чарли — третий, и они продолжают делать ходы в том же порядке. В каждом ходе игрок, делающий ход, должен выбрать положительное целое число

$n$ , больше любого ранее выбранного числа любым игроком, взять

$2n$ камешков из своей кучки и равномерно распределить их между двумя другими игроками. Если игрок не может сделать ход, игра заканчивается, и этот игрок проигрывает. Определите всех игроков, у которых есть стратегия, позволяющая, независимо от действий двух других игроков, не проиграть игру.
комментарий/решение

результаты