28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Найдите все тройки положительных целых чисел $ (x, y, z) $, которые удовлетворяют уравнению $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$

Комментарий/решение

Уравнение можно записать в таком виде:

$2^{2x}*505^{x}+2^{y}=2^{3z}*253^{z}$

Если $2x>y$ , тогда степень вхождения двойки $LHS$ равно $y$,а $RHS$ равно $3z$ , значит $y=3z$.

При $y>2x$ выйдет $2x=3z$.

Значит одно из $2x,y$ равно $3z$ значит одно из них делится на 3.

Рассмотрим мод 7. $RHS \equiv 1 \pmod {7}$. значит:

$2^{2x}*505^{x}+2^{y} \equiv 1 \pmod{7}$.

Заметим что, $505 \equiv 1 \pmod{7}$

Отсюда выйдет, что:

$2^{2x}+2^{y} \equiv 1 \pmod{7}$

Так как одно из $(2x,y)$ делится на $3$, то одно из степеней двойки дает остаток $1$, отсюда другое $0$, что невозможно.Значит $2x=y$

$505^{x}+1=2^{3z-2x}*253^{z}$

Заметим что $505^{x}+1 \equiv 2 \pmod {4}$,значит $2^{3z-2x}=2$ , $3z=2x+1$

Отсюда $z$ - нечетное.

$z=2k+1 \Rightarrow x=3k+1 ,k$- неотрицательное целое число.Уравнение превращается в такое:

$505^{3k+1}+1=2*253^{2k+1}$,но при $k>0$, $LHS>RHS$ значит $k=0$. Отсюда $x=1,y=2,z=1$ - единственный ответ

Не мое решение но не могу не написать о нем

Пусть сначала \( x = 1 \). Тогда если \( y \geq 3 \), уравнение невозможно по модулю 8. Следовательно, \( y = 1 \), что не даёт решения, или \( y = 2 \), что даёт \( z = 1 \), т.е. \( (x, y, z) = (1, 2, 1) \) — это решение.

Теперь предположим, что \( x \geq 2 \), и мы утверждаем, что других решений нет. Имеем в виду, что 2020 \( = 2^2 \cdot 5 \cdot 101 \) и 2024 \( = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 \).

У нас есть следующие вычисления по модулю:

\( 2^y \equiv (-1)^z \pmod{25} \) и, следовательно, по вычислениям до \( 2^{10} \equiv 1 \pmod{25} \) или аналогично, \( y \) должно быть делимо на 10. Запишем \( y = 10b \) для некоторого положительного целого \( b \).

\( 7z + 1 \equiv 0 \pmod{11} \) (мы использовали \( 2^y \equiv (2^{10})^b \equiv 1 \pmod{11} \) по Малой теореме Ферма) и, следовательно, по вычислениям до \( 7^{10} \equiv 1 \pmod{11} \) или аналогично, \( x \) должно быть делимо на 5.

\( 1024^b \equiv 2024^z \pmod{101} \), поэтому \( 2^{10b} \equiv 4^z \pmod{101} \). Возведя в 10-ую степень и применяя Малую теорему Ферма, мы получаем \( (-6)^z \equiv 1 \pmod{101} \). Вычисления до \( (-6)^5 \equiv 1 \pmod{101} \) теперь подразумевают, что \( z \) должно быть делимо на 5.

Следовательно, все \( x, y, z \) делятся на 5, противореча «Великой теореме Ферма».

Запишем уравнение в виде

$2^{2x} × 505^x + 2^y = 2^{3z} × 253^z$

Заметим, что при $2x > y$:

$2^y(2^{2x-y} × 505^x + 1) = 2^{3z} × 253^z$

Левая часть делится на $2^{3z}$, но выражение в скобках не делится ,

следовательно, $2^y$ делится на $2^{3z}$ и $2^y \ge 2^{3z}$.

Но при $2^y > 2^{3z}$ левая часть будет чётной, а правая нечётной — противоречие.

Отсюда $2^y=2^{3z}$

Тогда $y = 3z$.

$2^{2x} × 505^x + 2^{3z} = 2^{3z} × 253^z$

$2^{2x-3z} × 505^x + 1 = 253^z$

Рассмотрим по $mod$ $9$:

$253^z \equiv 1 \ (mod \ 9)$

$2^{2x-3z} × 505^x + 1 \equiv 1 \ (mod \ 9)$

$2^{2x-3z} × 505^x \equiv 0 \ (mod \ 9)$

$505^x \equiv 1 \ (mod \ 9)$

$2^{2x-3z} \equiv 0 \ (mod \ 9)$

Противоречие, значит $y \ne 3z$.

Пусть $2x = 3z$.

$2^{3z} × 505^x + 2^y = 2^{3z} × 253^z$

$505^x + 2^{y-3z} = 253^z$

Рассмотрим по $mod$ $11$:

$253^z \equiv 0 \ (mod \ 11)$

$505^x \equiv 10 \ (mod \ 11)$

$2^{y-3z} \equiv 1 \ (mod \ 11)$

Это возможно только при

$2^{y-3z} = 1,$

тогда $y = 3z$, что невозможно.

Следовательно, остаётся случай $2x = y$.

$2^y × 505^x + 2^y = 2^{3z} × 253^z$

$2^y(505^x + 1) = 2^{3z} × 253^z$

Рассмотрим по $mod$ $9$:

$2^{y+1} \equiv 2^{3z} \ (mod \ 9)$

Это возможно только при

$2^{y+1}= 2^{3z},$

откуда

$y + 1 = 3z,$

$y = 3z - 1.$

$2^{3z-1} × 505^x + 2^{3z-1} = 2^{3z} × 253^z$

Умножим обе части на $2$ и разделим на $2^{3z}$:

$505^x + 1 = 2 × 253^z.$

Пусть $z > 1$. Тогда

$2 × 253^z \equiv 0 \ (mod \ 121),$

но

$505^x + 1 \equiv 22 \ (mod \ 121),$

что невозможно.

Следовательно, $z = 1$.

$505^x + 1 = 2 × 253$

$505^x = 505$

$x = 1,$

$y = 2.$

Ответ : $z=1 , x=1 , y=2$