28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Найдите все тройки положительных целых чисел $(x, y, z)$, которые удовлетворяют уравнению $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$

Комментарий/решение

Уравнение можно записать в таком виде:

$2^{2x}*505^{x}+2^{y}=2^{3z}*253^{z}$

Если $2x>y$ , тогда степень вхождения двойки $LHS$ равно $y$,а $RHS$ равно $3z$ , значит $y=3z$.

При $y>2x$ выйдет $2x=3z$.

Значит одно из $2x,y$ равно $3z$ значит одно из них делится на 3.

Рассмотрим мод 7. $RHS \equiv 1 \pmod {7}$. значит:

$2^{2x}*505^{x}+2^{y} \equiv 1 \pmod{7}$.

Заметим что, $505 \equiv 1 \pmod{7}$

Отсюда выйдет, что:

$2^{2x}+2^{y} \equiv 1 \pmod{7}$

Так как одно из $(2x,y)$ делится на $3$, то одно из степеней двойки дает остаток $1$, отсюда другое $0$, что невозможно.Значит $2x=y$

$505^{x}+1=2^{3z-2x}*253^{z}$

Заметим что $505^{x}+1 \equiv 2 \pmod {4}$,значит $2^{3z-2x}=2$ , $3z=2x+1$

Отсюда $z$ - нечетное.

$z=2k+1 \Rightarrow x=3k+1 ,k$- неотрицательное целое число.Уравнение превращается в такое:

$505^{3k+1}+1=2*253^{2k+1}$,но при $k>0$, $LHS>RHS$ значит $k=0$. Отсюда $x=1,y=2,z=1$ - единственный ответ

Не мое решение но не могу не написать о нем

Пусть сначала $x = 1$. Тогда если $y \geq 3$, уравнение невозможно по модулю 8. Следовательно, $y = 1$, что не даёт решения, или $y = 2$, что даёт $z = 1$, т.е. $(x, y, z) = (1, 2, 1)$ — это решение.

Теперь предположим, что $x \geq 2$, и мы утверждаем, что других решений нет. Имеем в виду, что 2020 $= 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ и 2024 $= 2^3 \cdot 11 \cdot 23$.

У нас есть следующие вычисления по модулю:

$2^y \equiv (-1)^z \pmod{25}$ и, следовательно, по вычислениям до $2^{10} \equiv 1 \pmod{25}$ или аналогично, $y$ должно быть делимо на 10. Запишем $y = 10b$ для некоторого положительного целого $b$.

$7z + 1 \equiv 0 \pmod{11}$ (мы использовали $2^y \equiv (2^{10})^b \equiv 1 \pmod{11}$ по Малой теореме Ферма) и, следовательно, по вычислениям до $7^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ или аналогично, $x$ должно быть делимо на 5.

$1024^b \equiv 2024^z \pmod{101}$, поэтому $2^{10b} \equiv 4^z \pmod{101}$. Возведя в 10-ую степень и применяя Малую теорему Ферма, мы получаем $(-6)^z \equiv 1 \pmod{101}$. Вычисления до $(-6)^5 \equiv 1 \pmod{101}$ теперь подразумевают, что $z$ должно быть делимо на 5.

Следовательно, все $x, y, z$ делятся на 5, противореча «Великой теореме Ферма».