28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Есеп №1. Нақты оң $ a, b, c $ сандары $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}$ теңдігін қанағаттандырады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.$$
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $ ABC $ үшбұрышында $ AB < AC $ теңсіздігі орындалады. Центрі $ J $ болатын, $ A $ төбесіне қарсы орналасқан іштейсырт шеңбер $ AB $, $ AC $ және $ BC $ қабырғаларын, сәйкесінше, $ D $, $ E $ және $ F $ нүктелерінде жанайды. $ P $ нүктесі $BC$ қабырғасында жатқан нүкте. $ BDP $ және $ CEP $ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $ Q $ нүктесінде қиылысады. $R$ нүктесі ол $A$ нүктесінен $FJ$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $P$, $Q$ және $R$ нүктелері біз түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. $2020^x + 2^y = 2024^z$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $ (x, y, z) $ натурал үштіктерін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Арчи, Билли және Чарли келесі ойын ойнайды. Ойынның басында әрқайсысында 2024 тасы бар үйінді бар. Бірінші жүрісті Арчи, екіншісін Билли, үшіншісін Чарли жасайды да осы ретпен қайта кезектесіп жүре береді. Әр ойыншы өз жүрісінде оған дейін таңдалған кез келген саннан (оған дейін тек өзі таңдаған сан болуы міндетті емес) үлкен натурал $n$ санын таңдап, өз үйіндісінен $2n$ тасты алып оларды басқа екі ойыншылардың үйінділеріне теңдей бөліп салуы керек. Егер ойыншы өзінің кезегінде шарт орындалатындай жүріс жасай алмаса, ол жеңіледі. Қай ойыншыларда, басқа екі ойыншының әрекеттеріне қарамастан, өзі жеңілмейтіндей стратегия бар?
комментарий/решение

результаты