28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Пусть $ABC$ — треугольник, такой что $AB < AC$. Пусть вневписанная окружность, противоположная вершине $A$, касается сторон $AB$, $AC$ и $BC$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно, и пусть $J$ — её центр. Пусть $P$ — точка на стороне $BC$. Окружности, описанные около треугольников $BDP$ и $CEP$, пересекаются второй раз в точке $Q$. Пусть $R$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $FJ$. Докажите, что точки $P$, $Q$ и $R$ коллинеарны. (Вневписанная окружность треугольника $ABC$, противоположная вершине $A$, это окружность, которая касается отрезка $BC$, луча $AB$ за точкой $B$ и луча $AC$ за точкой $C$.)

Комментарий/решение

Поймём, что ADQE вписан. Это легко понять из следующего равенства углов:

$\angle PQD = \angle ABC$ $\angle PQE = \angle ACB$ поэтому, угол $\angle EQD = 180 - \angle BAC$

Теперь, вписанным также является ADJE, из за того что $\angle ADJ + \angle AEJ = 90+90=180$

Поэтому пятиугольник ADJQE вписан. Также четырехугольник ADRJ вписан так как $\angle ADJ + \angle ARJ = 90+90=180$, отсюда шестиугольник AREQJD вписан. Теперь, поймём следующее:

$\angle DQR = \angle DJR = \angle ABC = \angle DQP$ Но тогда $\angle DQR = \angle DQP$, откуда P, Q, R лежат на одной прямой.

Где инверсия