28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Пусть $ ABC $ — треугольник, такой что $ AB < AC $. Пусть вневписанная окружность, противоположная вершине $ A $, касается сторон $ AB $, $ AC $ и $ BC $ в точках $ D $, $ E $ и $ F $ соответственно, и пусть $ J $ — её центр. Пусть $ P $ — точка на стороне $ BC $. Окружности, описанные около треугольников $ BDP $ и $ CEP $, пересекаются второй раз в точке $ Q $. Пусть $ R $ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $ A $ на прямую $ FJ $. Докажите, что точки $ P $, $ Q $ и $ R $ коллинеарны. (Вневписанная окружность треугольника $ ABC $, противоположная вершине $ A $, это окружность, которая касается отрезка $ BC $, луча $ AB $ за точкой $ B $ и луча $ AC $ за точкой $ C $.)

Комментарий/решение

Поймём, что ADQE вписан. Это легко понять из следующего равенства углов:

$\angle PQD = \angle ABC$ $\angle PQE = \angle ACB$ поэтому, угол $\angle EQD = 180 - \angle BAC$

Теперь, вписанным также является ADJE, из за того что $\angle ADJ + \angle AEJ = 90+90=180$

Поэтому пятиугольник ADJQE вписан. Также четырехугольник ADRJ вписан так как $\angle ADJ + \angle ARJ = 90+90=180$, отсюда шестиугольник AREQJD вписан. Теперь, поймём следующее:

$\angle DQR = \angle DJR = \angle ABC = \angle DQP$ Но тогда $\angle DQR = \angle DQP$, откуда P, Q, R лежат на одной прямой.

Где инверсия