28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

$ABC$ үшбұрышында $AB < AC$ теңсіздігі орындалады. Центрі $J$ болатын, $A$ төбесіне қарсы орналасқан іштейсырт шеңбер $AB$, $AC$ және $BC$ қабырғаларын, сәйкесінше, $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде жанайды. $P$ нүктесі $BC$ қабырғасында жатқан нүкте. $BDP$ және $CEP$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $Q$ нүктесінде қиылысады. $R$ нүктесі ол $A$ нүктесінен $FJ$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $P$, $Q$ және $R$ нүктелері біз түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Поймём, что ADQE вписан. Это легко понять из следующего равенства углов:

$\angle PQD = \angle ABC$ $\angle PQE = \angle ACB$ поэтому, угол $\angle EQD = 180 - \angle BAC$

Теперь, вписанным также является ADJE, из за того что $\angle ADJ + \angle AEJ = 90+90=180$

Поэтому пятиугольник ADJQE вписан. Также четырехугольник ADRJ вписан так как $\angle ADJ + \angle ARJ = 90+90=180$, отсюда шестиугольник AREQJD вписан. Теперь, поймём следующее:

$\angle DQR = \angle DJR = \angle ABC = \angle DQP$ Но тогда $\angle DQR = \angle DQP$, откуда P, Q, R лежат на одной прямой.

Где инверсия