Международная олимпиада 2023, Чиба, Япония, 2023 год

Есеп №1. Келесі қасиетке ие барлық

$n>1$ құрама натурал сандарын табыңыз: егер

$d_1, d_2, \ldots, d_k$ арқылы

$n$ -ның барлық натурал бөлгіштерін белгілесек, мұнда

$1=d_1 < d_2 < \ldots < d_k=n$ , онда кез келген

$1 \leqslant i \leqslant k-2$ үшін

$d_i$ саны

$d_{i+1}+d_{i+2}$ санын бөледі.
комментарий/решение(6)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы (

$AB < AC$ )

$\Omega$ шеңберіне іштей сызылған.

$S$ нүктесі

$\Omega$ -ның

$CAB$ доғасының ортасы.

$A$ арқылы өтетін және

$BC$ қабырғасына перпендикуляр

$BS$ кесіндісін

$D$ , ал

$\Omega$ -ны екінші рет

$E \neq A$ нүктесінде қияды.

$D$ арқылы өтетін және

$BC$ -ға параллель түзу

$BE$ түзуін

$L$ нүктесінде қиып өтеді.

$BDL$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$\omega$ деп белгілейік.

$\omega$ мен

$\Omega$ шеңберлері екінші рет

$P$ нүктесінде қиылысын.

$\omega$ -ға

$P$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$BS$ -пен қиылысқанда, сол қиылысу нүктесі

$\angle BAC$ биссектрисасында жатқанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(8)

Есеп №3.

$k \geqslant 2$ натурал саны берілген. Келесі қасиетке ие барлық

$a_1, a_2, \ldots$ натурал сандарының барлық шексіз тізбегін табыңыз: теріс емес бүтін коэффициенттері

$c_0, c_1, \ldots, c_{k-1}$ бар әрі барлық натурал

$n \geq 1$ үшін

$P\left(a_n\right)=a_{ n+1} a_{ n+2} \cdots a_{n+k}$ болатындай

$P(x)=x^k+c_{k-1} x^{k-1}+\cdots+c_1 x+c_0$ түріндегі

$P$ көпмүшесі табылады.
комментарий/решение(5)

Есеп №4. Ешбір екеуі өзара тең емес оң нақты

$x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$ сандары берілген. Кез келген

$n=1,2, \ldots, 2023$ үшін

$a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac {1) }{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}$ саны бүтін сан екені белгілі.

$a_{2023} \geqslant 3034$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №5.

$n \geq 1$ натурал сан болсын. Жапон үшбұрышы деп жалпы

$1+2+\cdots+n$ бірдей дөңгелектерден құралған, әрбір

$i=1,2, \ldots, n$ үшін нөмірі

$i$ болатын қатарда дәл

$i$ дөңгелегі бар, ал әр қатарда дәл бір дөңгелек қызыл түске боялған тең бүйірлі үшбұрыш түрінде салынған фигураны айтамыз. Жапон үшбұрышындағы ниндзя жолы деп аталатын

$n$ дөңгелек тізбегі келесідей құрастырылған: 1-ші қатардағы дөңгелектен бастаймыз, содан кейін кезекпен төменгі бір дөңгелекке түсеміз, сосын оның астындағы екі дөңгелектің біріне жылжи бере,

$n$ -ші қатарға жету жол. Төменде

$n=6$ үшін жапондық үшбұрыштың мысалы, сондай-ақ екі қызыл дөңгелектен тұратын ниндзя жолы берілген. Кез келген жапон үшбұрышында кем дегенде

$k$ қызыл дөңгелегі бар ниндзя жолы болатындай ең үлкен

$k$ санын (

$n$ -ға байланысты) табыңыз.

комментарий/решение(6)

Есеп №6. Тең қабырғалы

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$A_1, B_1, C_1$ нүктелері

$ABC$ -ның ішінде

$B A_1=A_1C,$

$CB_1=B_1A,$

$AC_1=C_1B$ және

$\angle BA_1 C+\angle CB_1 A+\angle AC_1B=480^{\circ}$ болатындай етіп таңдалады.

$B C_1$ және

$C B_1$ түзулері

$A_2$ ,

$AC_1$ және

$CA_1$ түзулері

$B_2$ , ал

$AB_1$ және

$BA_1$ түзулері

$C_2$ нүктесінде қиылысады.

$A_1B_1C_1$ үшбұрышы теңбүйірлі емес екені белгілі.

$A_1A_2,$

$BB_1B_2$ және

$CC_1C_2$ үшбұрыштарына сырттай сызылған үш шеңберлер қандай да ортақ екі нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(8)

результаты