Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Международная олимпиада 2023, Чиба, Япония, 2023 год


Дан равносторонний треугольник ABC. Внутри ABC выбраны точки A1,B1,C1 такие, что BA1=A1C, CB1=B1A, AC1=C1B и BA1C+CB1A+AC1B=480. Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точке A2, прямые CA1 в AC1 пересекаются в точке B2, прямые AB1 и BA1 пересекаются в точке C2. Предположим, что у треугольника A1B1C1 стороны имеют попарно различные длины. Докажите, что тогда все три окружности, описанные около треугольников AA1A2, BB1B2 и CC1C2, проходят через какие-то две общие точки.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   9
11 месяца 22 дней назад #

  2
1 года 4 месяца назад #

Это Yandex или Google переводчик?

  1
1 года 4 месяца назад #

Что вы прикопались

  2
1 года 4 месяца назад #

Видно же с аопса скатано

  1
1 года 4 месяца назад #

Никто не запрещал

  1
6 месяца 17 дней назад #

Так как ABC равносторонний треугольник выберем систему картизановых координат так чтобы: A=(1,0), B=(12,32) и C=(12,32). Пусть ka, kb, и kc является расстоянием от A1, B1, и C1 до прямых BC, CA, and AB, соответственно. Так как A1, B1, C1 внутренние точки треугольника ABC и BA1C+CB1A+AC1B=480, получим:

ka=34kbkc6(kb+kc)2(34kbkc+2(kb+kc)).Значит

A1=(34kbkc6(kb+kc)2(34kbkc+2(kb+kc))12,0)=(4kb+4kc4kbkc2kb2kc3,0),B1=(2kc+14,3(2kc1)4),И

C1=(2kb+14,3(2kb+1)4). A2 пересечение прямых BC1 и CB1 значит

A2=(4kbkc+4kb+4kc34kbkc2kb2kc3,23(kbkc)4kbkc2kb2kc3).Также B2 пересечение прямых CA1 и AC1 значит

B2=(8k2bkc+4k2b24kb18kc+316k2b+12,3(8k2bkc12k2b16kbkc+6kc+3)16k2b+12). Аналогично C2 пересечение прямых AB1 и BA1 значит

C2=(8kbk2c18kb+4k2c24kc+316k2c+12,3(8kbk2c+16kbkc6kb+12k2c3)16k2c+12). Ka центр описанной окружности треугольника AA1A2 является пересечением серединных перпендикуляров к AA1 и AA2:

Ka=(4kbkc+2kb+2kc38kbkc4kb4kc6,3(16k2bk2c12k2bkc+6k2b12kbk2c9kb+6k2c9kc)24k2bkc12k2b24kbk2c18kb+12k2c+18kc).Также

Kb=(16k2b8kbk2c+32kbkc6kb+12k2c316k2bkc8k2b16kbkc24kb12kc+6,3(8k2bk2c+6k2b12kbk2c9kb)24k2bkc12k2b24kbkc36kb18kc+9).Аналогично

Kc=(8k2bkc+12k2b+32kbkc+16k2c6kc316kbk2c16kbkc12kb8k2c24kc+6,3(8k2bk2c+12k2bkc6k2c+9kc)24kbk2c24kbkc18kb12k2c36kc+9).Теперь

PowA/(Kb)PowA/(Kc)=AK2bBK2bAK2cCK2c=8kbk2c8kbkc6kb4k2c12kc+38kck2b8kckb6kc4k2b12kb+3,PowA1/(Kb)PowA1/(Kc)=A1K2bBK2bA1K2cCK2c=8kbk2c8kbkc6kb4k2c12kc+38kck2b8kckb6kc4k2b12kb+3,значит

PowA2/(Kb)PowA2/(Kc)=A2K2bBK2bA2K2cCK2c=8kbk2c8kbkc6kb4k2c12kc+38kck2b8kckb6kc4k2b12kb+3.ЧТД

  0
6 месяца 17 дней назад #

Моя школа

  0
6 месяца 16 дней назад #

сколько времени заняло это решение, если не секрет?