Международная олимпиада 2023, Чиба, Япония, 2023 год

Дан равносторонний треугольник $ABC$. Внутри $ABC$ выбраны точки $A_1, B_1, C_1$ такие, что $BA_1=A_1C,$ $CB_1=B_1A,$ $AC_1=C_1B$ и $$\angle BA_1 C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^{\circ} .$$ Прямые $B C_1$ и $C B_1$ пересекаются в точке $A_2$, прямые $CA_1$ в $AC_1$ пересекаются в точке $B_2$, прямые $AB_1$ и $B A_1$ пересекаются в точке $C_2$. Предположим, что у треугольника $A_1B_1C_1$ стороны имеют попарно различные длины. Докажите, что тогда все три окружности, описанные около треугольников $A A_1A_2,$ $BB_1B_2$ и $CC_1C_2$, проходят через какие-то две общие точки.

Комментарий/решение

Это Yandex или Google переводчик?

Что вы прикопались

Видно же с аопса скатано

Никто не запрещал

Так как $ABC$ равносторонний треугольник выберем систему картизановых координат так чтобы: $A=\left(1, 0 \right)$, $B=\left(\frac{-1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ и $C=\left(\frac{-1}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2} \right)$. Пусть $k_a$, $k_b$, и $k_c$ является расстоянием от $A_1$, $B_1$, и $C_1$ до прямых $BC$, $CA$, and $AB$, соответственно. Так как $A_1$, $B_1$, $C_1$ внутренние точки треугольника $ABC$ и $\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$, получим:

$$k_a=\frac{3-4k_bk_c-6(k_b+k_c)}{2(3-4k_bk_c+2(k_b+k_c))}.$$ Значит

$$A_1=\left(\frac{3-4k_bk_c-6(k_b+k_c)}{2(3-4k_bk_c+2(k_b+k_c))}-\frac{1}{2}, 0 \right)=\left(\frac{4k_b + 4k_c}{4k_bk_c - 2k_b - 2k_c - 3}, 0 \right),$$ $$B_1=\left(\frac{-2k_c + 1}{4}, \frac{\sqrt{3}(2k_c- 1)}{4} \right),$$ И

$$C_1=\left(\frac{-2k_b + 1}{4}, \frac{\sqrt{3}(-2k_b +1)}{4} \right).$$ $A_2$ пересечение прямых $BC_1$ и $CB_1$ значит

$$A_2=\left(\frac{-4k_bk_c + 4k_b + 4k_c - 3}{4k_bk_c - 2k_b - 2k_c - 3}, \frac{2\sqrt{3}(k_b - k_c)}{4k_bk_c - 2k_b - 2k_c - 3} \right).$$ Также $B_2$ пересечение прямых $CA_1$ и $AC_1$ значит

$$B_2=\left(\frac{8k_b^2k_c + 4k_b^2 - 24k_b - 18k_c + 3}{16k_b^2 + 12}, \frac{\sqrt{3}(8k_b^2k_c - 12k_b^2 - 16k_bk_c + 6k_c + 3)}{16k_b^2 + 12} \right).$$ Аналогично $C_2$ пересечение прямых $AB_1$ и $BA_1$ значит

$$C_2=\left(\frac{8k_bk_c^2 - 18k_b + 4k_c^2 - 24k_c + 3}{16k_c^2 + 12}, \frac{\sqrt{3}(-8k_bk_c^2 + 16k_bk_c - 6k_b + 12k_c^2 - 3)}{16k_c^2 + 12} \right).$$ $K_a$ центр описанной окружности треугольника $AA_1A_2$ является пересечением серединных перпендикуляров к $AA_1$ и $AA_2$:

$$K_a=\left(\frac{4k_bk_c + 2k_b + 2k_c - 3}{8k_bk_c - 4k_b - 4k_c - 6}, \frac{\sqrt{3}(16k_b^2k_c^2 - 12k_b^2k_c + 6k_b^2 - 12k_bk_c^2 - 9k_b + 6k_c^2 - 9k_c)}{24k_b^2k_c - 12k_b^2 - 24k_bk_c^2 - 18k_b + 12k_c^2 + 18k_c} \right).$$ Также

$$K_b=\left(\frac{16k_b^2 - 8k_bk_c^2 + 32k_bk_c - 6k_b + 12k_c^2 - 3}{16k_b^2k_c - 8k_b^2 - 16k_bk_c - 24k_b - 12k_c + 6}, \frac{\sqrt{3}(8k_b^2k_c^2 + 6k_b^2 - 12k_bk_c^2 - 9k_b)}{24k_b^2k_c - 12k_b^2 - 24k_bk_c - 36k_b - 18k_c + 9} \right).$$ Аналогично

$$K_c=\left(\frac{-8k_b^2k_c + 12k_b^2 + 32k_bk_c + 16k_c^2 - 6k_c - 3}{16k_bk_c^2 - 16k_bk_c - 12k_b - 8k_c^2 - 24k_c + 6}, \frac{\sqrt{3}(-8k_b^2k_c^2 + 12k_b^2k_c - 6k_c^2 + 9k_c)}{24k_bk_c^2 - 24k_bk_c - 18k_b - 12k_c^2 - 36k_c + 9} \right).$$ Теперь

$$\frac{{\rm Pow}_{A/(K_b)}}{{{\rm Pow}_{A/(K_c)}}}=\frac{AK_b^2-BK_b^2}{AK_c^2-CK_c^2}=\frac{8k_bk_c^2 - 8k_bk_c - 6k_b - 4k_c^2 - 12k_c + 3}{8k_ck_b^2 - 8k_ck_b - 6k_c - 4k_b^2 - 12k_b + 3},$$ $$\frac{{\rm Pow}_{A_1/(K_b)}}{{{\rm Pow}_{A_1/(K_c)}}}=\frac{A_1K_b^2-BK_b^2}{A_1K_c^2-CK_c^2}=\frac{8k_bk_c^2 - 8k_bk_c - 6k_b - 4k_c^2 - 12k_c + 3}{8k_ck_b^2 - 8k_ck_b - 6k_c - 4k_b^2 - 12k_b + 3},$$ значит

$$\frac{{\rm Pow}_{A_2/(K_b)}}{{{\rm Pow}_{A_2/(K_c)}}}=\frac{A_2K_b^2-BK_b^2}{A_2K_c^2-CK_c^2}=\frac{8k_bk_c^2 - 8k_bk_c - 6k_b - 4k_c^2 - 12k_c + 3}{8k_ck_b^2 - 8k_ck_b - 6k_c - 4k_b^2 - 12k_b + 3}.$$ ЧТД

Моя школа

сколько времени заняло это решение, если не секрет?