Международная олимпиада 2023, Чиба, Япония, 2023 год
Комментарий/решение:
Так как ABC равносторонний треугольник выберем систему картизановых координат так чтобы: A=(1,0), B=(−12,√32) и C=(−12,−√32). Пусть ka, kb, и kc является расстоянием от A1, B1, и C1 до прямых BC, CA, and AB, соответственно. Так как A1, B1, C1 внутренние точки треугольника ABC и ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘, получим:
ka=3−4kbkc−6(kb+kc)2(3−4kbkc+2(kb+kc)).Значит
A1=(3−4kbkc−6(kb+kc)2(3−4kbkc+2(kb+kc))−12,0)=(4kb+4kc4kbkc−2kb−2kc−3,0),B1=(−2kc+14,√3(2kc−1)4),И
C1=(−2kb+14,√3(−2kb+1)4). A2 пересечение прямых BC1 и CB1 значит
A2=(−4kbkc+4kb+4kc−34kbkc−2kb−2kc−3,2√3(kb−kc)4kbkc−2kb−2kc−3).Также B2 пересечение прямых CA1 и AC1 значит
B2=(8k2bkc+4k2b−24kb−18kc+316k2b+12,√3(8k2bkc−12k2b−16kbkc+6kc+3)16k2b+12). Аналогично C2 пересечение прямых AB1 и BA1 значит
C2=(8kbk2c−18kb+4k2c−24kc+316k2c+12,√3(−8kbk2c+16kbkc−6kb+12k2c−3)16k2c+12). Ka центр описанной окружности треугольника AA1A2 является пересечением серединных перпендикуляров к AA1 и AA2:
Ka=(4kbkc+2kb+2kc−38kbkc−4kb−4kc−6,√3(16k2bk2c−12k2bkc+6k2b−12kbk2c−9kb+6k2c−9kc)24k2bkc−12k2b−24kbk2c−18kb+12k2c+18kc).Также
Kb=(16k2b−8kbk2c+32kbkc−6kb+12k2c−316k2bkc−8k2b−16kbkc−24kb−12kc+6,√3(8k2bk2c+6k2b−12kbk2c−9kb)24k2bkc−12k2b−24kbkc−36kb−18kc+9).Аналогично
Kc=(−8k2bkc+12k2b+32kbkc+16k2c−6kc−316kbk2c−16kbkc−12kb−8k2c−24kc+6,√3(−8k2bk2c+12k2bkc−6k2c+9kc)24kbk2c−24kbkc−18kb−12k2c−36kc+9).Теперь
PowA/(Kb)PowA/(Kc)=AK2b−BK2bAK2c−CK2c=8kbk2c−8kbkc−6kb−4k2c−12kc+38kck2b−8kckb−6kc−4k2b−12kb+3,PowA1/(Kb)PowA1/(Kc)=A1K2b−BK2bA1K2c−CK2c=8kbk2c−8kbkc−6kb−4k2c−12kc+38kck2b−8kckb−6kc−4k2b−12kb+3,значит
PowA2/(Kb)PowA2/(Kc)=A2K2b−BK2bA2K2c−CK2c=8kbk2c−8kbkc−6kb−4k2c−12kc+38kck2b−8kckb−6kc−4k2b−12kb+3.ЧТД
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.