Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Международная олимпиада 2023, Чиба, Япония, 2023 год


Тең қабырғалы ABC үшбұрышы берілген. A1,B1,C1 нүктелері ABC-ның ішінде BA1=A1C, CB1=B1A, AC1=C1B және BA1C+CB1A+AC1B=480 болатындай етіп таңдалады. BC1 және CB1 түзулері A2, AC1 және CA1 түзулері B2, ал AB1 және BA1 түзулері C2 нүктесінде қиылысады. A1B1C1 үшбұрышы теңбүйірлі емес екені белгілі. A1A2, BB1B2 және CC1C2 үшбұрыштарына сырттай сызылған үш шеңберлер қандай да ортақ екі нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   9
11 месяца 18 дней назад #

  2
1 года 4 месяца назад #

Это Yandex или Google переводчик?

  1
1 года 4 месяца назад #

Что вы прикопались

  2
1 года 4 месяца назад #

Видно же с аопса скатано

  1
1 года 4 месяца назад #

Никто не запрещал

  1
6 месяца 12 дней назад #

Так как ABC равносторонний треугольник выберем систему картизановых координат так чтобы: A=(1,0), B=(12,32) и C=(12,32). Пусть ka, kb, и kc является расстоянием от A1, B1, и C1 до прямых BC, CA, and AB, соответственно. Так как A1, B1, C1 внутренние точки треугольника ABC и BA1C+CB1A+AC1B=480, получим:

ka=34kbkc6(kb+kc)2(34kbkc+2(kb+kc)).Значит

A1=(34kbkc6(kb+kc)2(34kbkc+2(kb+kc))12,0)=(4kb+4kc4kbkc2kb2kc3,0),B1=(2kc+14,3(2kc1)4),И

C1=(2kb+14,3(2kb+1)4). A2 пересечение прямых BC1 и CB1 значит

A2=(4kbkc+4kb+4kc34kbkc2kb2kc3,23(kbkc)4kbkc2kb2kc3).Также B2 пересечение прямых CA1 и AC1 значит

B2=(8k2bkc+4k2b24kb18kc+316k2b+12,3(8k2bkc12k2b16kbkc+6kc+3)16k2b+12). Аналогично C2 пересечение прямых AB1 и BA1 значит

C2=(8kbk2c18kb+4k2c24kc+316k2c+12,3(8kbk2c+16kbkc6kb+12k2c3)16k2c+12). Ka центр описанной окружности треугольника AA1A2 является пересечением серединных перпендикуляров к AA1 и AA2:

Ka=(4kbkc+2kb+2kc38kbkc4kb4kc6,3(16k2bk2c12k2bkc+6k2b12kbk2c9kb+6k2c9kc)24k2bkc12k2b24kbk2c18kb+12k2c+18kc).Также

Kb=(16k2b8kbk2c+32kbkc6kb+12k2c316k2bkc8k2b16kbkc24kb12kc+6,3(8k2bk2c+6k2b12kbk2c9kb)24k2bkc12k2b24kbkc36kb18kc+9).Аналогично

Kc=(8k2bkc+12k2b+32kbkc+16k2c6kc316kbk2c16kbkc12kb8k2c24kc+6,3(8k2bk2c+12k2bkc6k2c+9kc)24kbk2c24kbkc18kb12k2c36kc+9).Теперь

PowA/(Kb)PowA/(Kc)=AK2bBK2bAK2cCK2c=8kbk2c8kbkc6kb4k2c12kc+38kck2b8kckb6kc4k2b12kb+3,PowA1/(Kb)PowA1/(Kc)=A1K2bBK2bA1K2cCK2c=8kbk2c8kbkc6kb4k2c12kc+38kck2b8kckb6kc4k2b12kb+3,значит

PowA2/(Kb)PowA2/(Kc)=A2K2bBK2bA2K2cCK2c=8kbk2c8kbkc6kb4k2c12kc+38kck2b8kckb6kc4k2b12kb+3.ЧТД

  0
6 месяца 12 дней назад #

Моя школа

  0
6 месяца 12 дней назад #

сколько времени заняло это решение, если не секрет?