Международная олимпиада 2023, Чиба, Япония, 2023 год

Даны попарно различные положительные действительные числа $x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$ такие, что число $$a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}$$ является целым для всех $n=1,2, \ldots, 2023$. Докажите, что $a_{2023} \geqslant 3034$.

Комментарий/решение

$a_1= 1$

Покажем что$:$

$a_{n+2} \geq a_n + \sqrt{\dfrac{(x_{n+1}+x_{n+2})^2}{x_{n+1}x_{n+2}}}$

$$$$

$A=(x_1+\dots+x_n)$

$B=(\frac{1}{x_1}+ \dots + \frac{1}{x_n})$

$\sqrt{(A+x_{n+1}+x_{n+2})(B+\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})} \geq \sqrt{AB}+\sqrt{(x_{n+1} + x_{n+2})(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})}$

$(A+x_{n+1}+x_{n+2})(B+\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}}) \geq AB+{(x_{n+1} + x_{n+2})(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})} + 2\sqrt{AB{(x_{n+1} + x_{n+2})(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})}}$

$$$$

$A(\frac{1}{x_{n+1}}+ \frac{1}{x_{n+2}}) + B(x_{n+1}+x_{n+2}) \geq 2\sqrt{AB{(x_{n+1}+ x_{n+2})(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})}}$

$$$$

Заметим$:$

$A, B, x_{n+1}, x_{n+2} \in R^+$

Тогда используя $AM \geq GM$ на выражении$:$

$A(\frac{1}{x_{n+1}}+ \frac{1}{x_{n+2}}) + B(x_{n+1}+x_{n+2})$

Получим требуемуе

$$$$

Значит$:$

$a_{n+2} \geq a_n + \sqrt{\dfrac{(x_{n+1}+x_{n+2})^2}{x_{n+1}x_{n+2}}}$

$\dfrac{(x_{n+1}+x_{n+2})^2}{x_{n+1}x_{n+2}} \geq 4$ по $AM \geq GM$

Случай равенста достигается только при случаи равенства двух элементов, но по условиям они все различны

$$$$

Значит$:$

$a_{n+2} >a_n+2$

Используя то что все $a_i$ целые$:$

$a_{n+2} \geq a_n+3$

$$$$

$a_{2023} \geq a_{2021} +3 \geq \dots \geq a_1 + 3033=3034 \Rightarrow a_{2023} \geq 3034$

Ч.Т.Д.

$$a_{n+2}^2=(x_1+...+x_{n+2})(\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_{n+2}})=a_n^2+(x_1+...+x_n)(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})+(x_{n+1}+x_{n+2})(\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_{n}})+(x_{n+1}+x_{n+2})(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})$$

$$(x_{n+1}+x_{n+2})(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}}) > 4$$

$$ a_n^2+(x_1+...+x_n)(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})+(x_{n+1}+x_{n+2})(\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_{n}}) \geq a_n^2+2\sqrt{a_n^2\cdot (x_{n+1}+x_{n+2})(\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_{n+2}})} > a_n^2+4a_n$$

$$a_{n+2}^2 > (a_n+2)^2$$

$$a_{n+2} \geq a_n+3$$

$$a_{2023} \geq a_1+3(\frac{2022}{2})=a_1+3033=3034$$

$$$$

Идея выходит от отношения 2022 и 3033, остается удобным образом показать что каждое второе число растет на 3.