10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Биссектриса угла

$BAC$ остроугольного треугольника

$ABC$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$P$ . Точки

$D$ и

$E$ лежат на отрезках

$AB$ и

$AC$ соответственно так, что

$BC \parallel DE$ . Точки

$K$ и

$L$ отмечены на отрезках

$PD$ и

$PE$ соответственно так, что точки

$A$ ,

$D$ ,

$E$ ,

$K$ ,

$L$ лежат на одной окружности. Докажите, что точки

$B$ ,

$C$ ,

$K$ ,

$L$ также лежат на одной окружности.
комментарий/решение(5)

Задача №2. Точка

$I$ — центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ . Прямые

$BI$ и

$CI$ пересекают стороны

$AC$ и

$AB$ в точках

$X$ и

$Y$ соответственно. Пусть

$M$ — середина дуги

$BAC$ описанной окружности треугольника

$ABC$ . Докажите, что если четырёхугольник

$MXIY$ является вписанным, то площадь четырёхугольника

$MBIC$ равна площади пятиугольника

$BCXIY$ .
комментарий/решение

Задача №3. Дано конечное число точек

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$\ldots$ ,

$A_n$ на отрезке

$S$ длины

$L$ . Для каждой точки

$A_i$ обозначим через

$c_i$ круг с центром в точке

$A_i$ и с радиусом, меньшим или равным

$1$ . Обозначим объединение всех таких

$c_i$ через

$C$ . Докажите, что периметр

$C$ меньше, чем

$4L+8$ . (Радиусы кругов не обязательно равны.)
комментарий/решение

Задача №4. Биссектрисы

$BE$ и

$CF$ треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$I$ . Пусть

$D$ — основание перпендикуляра опущенного из

$I$ на

$BC$ .

$M$ и

$N$ — точки пересечения высоты треугольников

$AIF$ и

$AIE$ соответственно. Прямые

$EM$ и

$FN$ пересекаются в точке

$P$ . Пусть

$X$ — середина отрезка

$BC$ . Точка

$Y$ лежит на прямой

$AD$ так, что

$XY \perp IP$ . Докажите, что прямая

$AI$ делит отрезок

$XY$ пополам.
комментарий/решение(1)

Задача №5. В треугольнике

$ABC$ точки

$M$ и

$N$ — середины сторон

$AC$ и

$AB$ соответственно, а

$D$ — проекция точки

$A$ на

$BC$ . Точка

$O$ — центр описанной окружности треугольника

$ABC$ , а описанные окружности треугольников

$BOC$ и

$DMN$ пересекаются в точках

$R$ и

$T$ . Прямые

$DT$ и

$DR$ пересекают прямую

$MN$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Прямые

$CT$ и

$BR$ пересекаются в точке

$K$ . Точка

$P$ лежит на

$KD$ так, что

$PK$ является биссектрисой угла

$BPC$ . Докажите, что окружности, описанные около треугольников

$ART$ и

$PEF$ , касаются друг друга.
комментарий/решение