10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Биссектрисы $BE$ и $CF$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Пусть $D$ — основание перпендикуляра опущенного из $I$ на $BC$. $M$ и $N$ — точки пересечения высоты треугольников $AIF$ и $AIE$ соответственно. Прямые $EM$ и $FN$ пересекаются в точке $P$. Пусть $X$ — середина отрезка $BC$. Точка $Y$ лежит на прямой $AD$ так, что $XY \perp IP$. Докажите, что прямая $AI$ делит отрезок $XY$ пополам.

Комментарий/решение

Проведем через точки $A,I,F,N,M$ конику $\eta$. Заметим, что $\eta$ - равнобокая гипербола, так как содержит ортоцентрическую четверку точек $A,I,F,M$. Также стоит отметить, что $E$, как ортоцентр $\triangle AIN$, лежит на $\eta$. Теорема Паскаля к $EMANFI$ дает, что $P$ лежит на какой-то прямой. Заметим, что биссектриса $CF$ перпендикулярна $AM$, значит симметрия $A$ относительно биссектрисы лежит на $BC$, то есть $CI\cap AM$ лежит на средней линии треугольника. В итоге $P$ на средней линии треугольника. Теперь теорема Паскаля для $FAEMIN$. Заметим, что $IM\bot AB$, значит $P$ лежит на прямой соединяющей проекции $I$ на $AB$ и $AC$. Это было основной частью. Для удобства переформулируем. $M,N$ - середины $AB,AC$, а $E,F$ - касания вписанной с $AC,AB$. Остальное также, а значит $P=MN\cap EF$. $Q$ - пересечение $ME$ с $FN$. $K$ - полюс средней линии $MN$ относительно вписанной окружности (по лемме 255 также ортоцентр $\triangle BIC$). Так как $P$ - пересечение поляр $A$ и $K$ (по вписанной), то $AK\bot IP$. $EF$ пересекает $AX$ на $ID$ (известный факт).$(K,I;D,EF\cap AX)$ проецируется через $KC\cap BI\cap EF$ (это одна точка по лемме 255) в $(C,B;D,EF\cap BC)$, что есть гармоническая четверка, вследствие существования точки Жергонна. $(XY,AI;AD,AX)=(AK,AI,AD,AX)=-1$, а значит $AI$ проходит через середину $XY$.