Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы


ABC үшбұрышының BE және CF биссектрисалары I нүктесінде қиылысады. D нүктесі — I-дан BC-ға түсірілген перпендикуляр табаны. M және N нүктелері, сәйкесінше, AIF және AIE үшбұрыштарының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. EM және FN түзулері P нүктесінде қиылысады. X нүктесі BC-ның ортасы. AD түзуінің бойынан XYIP болатындай Y нүктесі алынған. AI түзуі XY кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
8 месяца 15 дней назад #

Проведем через точки A,I,F,N,M конику η. Заметим, что η - равнобокая гипербола, так как содержит ортоцентрическую четверку точек A,I,F,M. Также стоит отметить, что E, как ортоцентр AIN, лежит на η. Теорема Паскаля к EMANFI дает, что P лежит на какой-то прямой. Заметим, что биссектриса CF перпендикулярна AM, значит симметрия A относительно биссектрисы лежит на BC, то есть CIAM лежит на средней линии треугольника. В итоге P на средней линии треугольника. Теперь теорема Паскаля для FAEMIN. Заметим, что IMAB, значит P лежит на прямой соединяющей проекции I на AB и AC. Это было основной частью. Для удобства переформулируем. M,N - середины AB,AC, а E,F - касания вписанной с AC,AB. Остальное также, а значит P=MNEF. Q - пересечение ME с FN. K - полюс средней линии MN относительно вписанной окружности (по лемме 255 также ортоцентр BIC). Так как P - пересечение поляр A и K (по вписанной), то AKIP. EF пересекает AX на ID (известный факт).(K,I;D,EFAX) проецируется через KCBIEF (это одна точка по лемме 255) в (C,B;D,EFBC), что есть гармоническая четверка, вследствие существования точки Жергонна. (XY,AI;AD,AX)=(AK,AI,AD,AX)=1, а значит AI проходит через середину XY.