10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы
Комментарий/решение:
По лемме Фусса замечаем, что ALPB и AKPC являются вписанными в окружность. Пусть X,Y - точки вторичного пересечения (APC),(APB) с AB,AC соответственно. Благодаря тому, что AP - биссектриса ∠BAC, имеем: XP=PC,YP=PB. M - середина дуги DE и Q,R пересечения KE,LD с (APC),(APB) соответственно.
Заметим, что по лемме Фусса QY||XR||DE||BC⇒QB=PY,RC=PX, поэтому поворотная гомотетия в точке A переводящая (ADE) в (APB) переводит △DME в △QBP, следовательно M∈LB и с KC аналогично.
Тогда ML⋅MB=|pow(ABP)M|=|pow(APC)M|=MK⋅MC⇔BKLC - вписанный.
Пусть AP вторично пересекает окружность на которой лежат точки A,D,E,K,L в точке P′.
Утверждение 1: четырехугольники ABPL и ACPK вписанные.
Доказательство:
BC∥DE ⇒ ∠ABC=∠ADE. Точки A,D,E,L лежат на одной окружности ⇒ ∠ADE=180∘−∠ALE ⇒ ∠ABC=∠ABP=∠ADE=180∘−∠ALE=180∘−∠ALP ⇒ ∠ABP+∠ALP=180∘ ⇒ Точки A,B,P,L лежат на одной окружности. Аналогично доказываем то что точки A,C,P,K лежат на одной окружности.
Из Утверждение 1 счетом углов можно вывести то что точки B,P′,L и C,P′,K лежат на одной прямой ⇒ AP′⋅P′P=BP′⋅P′L ; AP′⋅P′P=CP′⋅P′K ⇒ BP′⋅P′L=CP′⋅P′K ⇒ Точки B,C,K,L лежат на одной окружности.
Инверсия с центром A и симметрией относительно биссектрисе AP с радиусом √AB∗AE=√AD∗AC
BC=>(ADE), P=>P′ где P′ середина дуги KL . (AP′C)∩BC=K′,(AP′B)∩BC=L′ заметим что AKPC,APLB вписанный значит D−P′−K′,E−P′−L′ отсюда по счету углов L′K′DE равнобокая трапеция отсюда BCKL вписан.
Пусть O−центр описанной ABC
O1−центр описанной ADE
H−основание высоты с вершины A на сторону BC.
Ну заметим, что центр описанной ADE будет лежать на AO потому что высота с вершины A на сторону DE лежит на прямой AH и тогда если воспользуемся фактом, что центр описанной и ортоцентр изогонально сопряжены, то сразу следует что O1−O−A⇒ (i) (ADE) касается (ABC)
∠CPE=∠PED=∠LKP (первое равенство из параллельности, а второе из вписанности DEKL) ну значит (ii)BC касается (KLP)
Давайте из точки P проведем перпендикулярную прямую относительно BC. Пусть эта прямая пересекает прямую AO в точке X. Немного по считаем углы:
∠ABC=2b,∠BCA=2c90°−2c=∠HAC=∠BAO=∠BAX
Известно, что ∠BAC=180°−2b−2c⇒∠BAP=90°−b−c
Ну тогда очевидно что ∠PAX=∠BAP−∠BAX=c−b
∠APC=180°−∠PAC−∠PCA=90°−c+b⇒∠APX=c−b
Тогда AX=XP. Нарисуем окружность ω с центром X и с радиусом XA.
ω касается (ADE) в точке A т.к. A−X−O1
ω касается KLP в точке P т.к. XP перпендикулярен BC т.е. ω касается BC в точке P как и (KLP) (вспомните (ii))
Тогда чекнем рад оси для ω,(ADE),(KLP). Это будет касательная с A, KL, BC. Ну т.е. они пересекаются в одной точке G какой нибудь (iii)
Но погодите, теперь чекнем рад оси для
(ADE),(ABC),(BKC), вспоминая факт (i) и (iii)
От сюда мы получаем, что (BKC)∩(ADE)≠K−K−G
А такое точка у нас уже известно и может быть только L ну все значит L∈(BKC) чтд
Проведем касательную в точке A и пусть она пересекает BC в точке N. Тогда так как N центр окружности аполония NA=NP.Понятно что NA касается (ADE).
Заметим что ∠DPB=∠EDP=∠EAK=∠KLP отсюда NP касается (KLP). Отсюда N лежит на рад оси (KLP) и (ADE) значит K−L−N. Значит
FK∗FL=FP2=FA2=FB∗FC отсюда (KLBC).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.