Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы


Сүйірбұрышты ABC үшбұрышында BAC бұрышының биссектрисасы BC қабырғасын P нүктесінде қияды. D және E нүктелері, сәйкесінше, AB және AC кесінділерінде BCDE болатындай алынған. K және L нүктелері, сәйкесінше, PD және PE кесінділерінде A, D, E, K, L нүктелері бір шеңберің бойында жататындай алынған. B, C, K, L нүктелерінің бір шеңбер бойында жатқанын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
1 года 3 месяца назад #

По лемме Фусса замечаем, что ALPB и AKPC являются вписанными в окружность. Пусть X,Y - точки вторичного пересечения (APC),(APB) с AB,AC соответственно. Благодаря тому, что AP - биссектриса BAC, имеем: XP=PC,YP=PB. M - середина дуги DE и Q,R пересечения KE,LD с (APC),(APB) соответственно.

Заметим, что по лемме Фусса QY||XR||DE||BCQB=PY,RC=PX, поэтому поворотная гомотетия в точке A переводящая (ADE) в (APB) переводит DME в QBP, следовательно MLB и с KC аналогично.

Тогда MLMB=|pow(ABP)M|=|pow(APC)M|=MKMCBKLC - вписанный.

  2
7 месяца 23 дней назад #

Пусть AP вторично пересекает окружность на которой лежат точки A,D,E,K,L в точке P.

Утверждение 1: четырехугольники ABPL и ACPK вписанные.

Доказательство:

BCDE ABC=ADE. Точки A,D,E,L лежат на одной окружности ADE=180ALE ABC=ABP=ADE=180ALE=180ALP ABP+ALP=180 Точки A,B,P,L лежат на одной окружности. Аналогично доказываем то что точки A,C,P,K лежат на одной окружности.

Из Утверждение 1 счетом углов можно вывести то что точки B,P,L и C,P,K лежат на одной прямой APPP=BPPL ; APPP=CPPK BPPL=CPPK Точки B,C,K,L лежат на одной окружности.

  0
6 месяца 8 дней назад #

Инверсия с центром A и симметрией относительно биссектрисе AP с радиусом ABAE=ADAC

BC=>(ADE), P=>P где P середина дуги KL . (APC)BC=K,(APB)BC=L заметим что AKPC,APLB вписанный значит DPK,EPL отсюда по счету углов LKDE равнобокая трапеция отсюда BCKL вписан.

пред. Правка 2   0
5 месяца 20 дней назад #

Пусть Oцентр описанной ABC

O1центр описанной ADE

Hоснование высоты с вершины A на сторону BC.

Ну заметим, что центр описанной ADE будет лежать на AO потому что высота с вершины A на сторону DE лежит на прямой AH и тогда если воспользуемся фактом, что центр описанной и ортоцентр изогонально сопряжены, то сразу следует что O1OA (i) (ADE) касается (ABC)

CPE=PED=LKP (первое равенство из параллельности, а второе из вписанности DEKL) ну значит (ii)BC касается (KLP)

Давайте из точки P проведем перпендикулярную прямую относительно BC. Пусть эта прямая пересекает прямую AO в точке X. Немного по считаем углы:

ABC=2b,BCA=2c90°2c=HAC=BAO=BAX

Известно, что BAC=180°2b2cBAP=90°bc

Ну тогда очевидно что PAX=BAPBAX=cb

APC=180°PACPCA=90°c+bAPX=cb

Тогда AX=XP. Нарисуем окружность ω с центром X и с радиусом XA.

ω касается (ADE) в точке A т.к. AXO1

ω касается KLP в точке P т.к. XP перпендикулярен BC т.е. ω касается BC в точке P как и (KLP) (вспомните (ii))

Тогда чекнем рад оси для ω,(ADE),(KLP). Это будет касательная с A, KL, BC. Ну т.е. они пересекаются в одной точке G какой нибудь (iii)

Но погодите, теперь чекнем рад оси для

(ADE),(ABC),(BKC), вспоминая факт (i) и (iii)

От сюда мы получаем, что (BKC)(ADE)KKG

А такое точка у нас уже известно и может быть только L ну все значит L(BKC) чтд

  0
5 месяца 10 дней назад #

Проведем касательную в точке A и пусть она пересекает BC в точке N. Тогда так как N центр окружности аполония NA=NP.Понятно что NA касается (ADE).

Заметим что DPB=EDP=EAK=KLP отсюда NP касается (KLP). Отсюда N лежит на рад оси (KLP) и (ADE) значит KLN. Значит

FKFL=FP2=FA2=FBFC отсюда (KLBC).