10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно, а $D$ — проекция точки $A$ на $BC$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а описанные окружности треугольников $BOC$ и $DMN$ пересекаются в точках $R$ и $T$. Прямые $DT$ и $DR$ пересекают прямую $MN$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $CT$ и $BR$ пересекаются в точке $K$. Точка $P$ лежит на $KD$ так, что $PK$ является биссектрисой угла $BPC$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ART$ и $PEF$, касаются друг друга.

Комментарий/решение

$O_1-$центр $(OBC);$ $G=TR\cap BC;$ $Q=KD\cap EF;$ $E_1=DE\cap (AEF);$ $F_1=DF\cap (AEF);$ $L-$ортоцентр $\triangle EDF;$ $D'-$симметричная точка к $D$ отностиельно $Q\Rightarrow D'\in (AEF);$ $B_1,C_1$ основании высот из $B,C$ соотственно $;$ $(EGE_1)\cap EF=U; (EGE_1)\cap (DF_1E_1)=V; (EGE_1)\cap BC=W$

$(BCB_1C_1),(B_1C_1TR),(TRCB)-$вписанные четырехугольнки и так как $BC$ и $RT$ перескаются в точке $G,$ $G$ лежит на прямой $B_1C_1.$ Значить $$-1=(B,C;D,G)\overset{K}{=}(G,KD\cap TR;R,T)\overset{A}{=}(\infty ,DK\cap EF; F,E)\Rightarrow DK\cap EF=Q$$

$$\angle LFE=180-\angle LDE=\angle EDA=\angle EAL\Rightarrow L\in (AEF). $$

В треугольнике $DEF-$$(EUE_1V)$ и $(DE_1VF_1)$ вписанные, значить по теореме Микеля $(FUF_1V)-$вписанный.

                          $\angle EUV=180-\angle FUV=180-\angle FF_1V=\angle DE_1V=\angle VDG\Rightarrow V-D-U$ лежат на одной прямой. $$DF\cdot DF_1=DU\cdot DV=DG\cdot DW\Rightarrow W\in (FUF_1)\Rightarrow \angle GF_1D=\angle GWF=\angle WDE=180-\angle ZDE_1=180-\angle E_1F_1D\Rightarrow \overline{G-F_1-E_1}$$

$$(B,C;D,G)=-1 и \angle BPD=\angle DPC\Rightarrow \angle GPD=90; P'=GL\cap (AEF)\Rightarrow GP'\cdot GL=GF_1\cdot GE_1=GD^2\Rightarrow \angle GP'D=90\Rightarrow P=P'$$

$XT$ касательный к $(PEF),$ $X'T$ касательный к $(ART)\Rightarrow$ $\angle XAT=\angle EAT+\angle EFA=\angle EAN+\angle NAT+\angle MFR=\angle TDN+\angle RAC+180-\angle FMZ-\angle FZM$ $=\angle TMN-\angle AMN+\angle RAZ+\angle AZR$ $=-\angle DMT+\angle DRA=\angle TRA=\angle X'AT\Rightarrow X-X'-T$ лежат на одной прямой $XX'$ касательный к $(PEF)$ и $(ART)$ $\blacksquare$