Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

Задача №1. На доске написаны числа 1, 2, 3,

$\ldots$ , 2023. За ход разрешается выбрать любые два числа, стереть их и вписать среднее арифметическое вместо этих двух стертых чисел. Можно ли за 2022 таких хода получить число 2?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Сколькими способами в каждой клетке таблицы

$4\times 4$ можно расположить цифры 0 и 1 так, чтобы сумма чисел в каждом столбце и сумма чисел в каждой строчке была четной?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Натуральное число

$2a$ имеет 8 делителей (включая 1 и само число), а натуральное число

$3a$ имеет менее 6 делителей. Какой цифрой может оканчиваться число

$2023a$ ?
комментарий/решение(4)

Задача №4. В треугольнике

$BCD$ на стороне

$BD$ отметили точку

$A$ . Оказалось, что

$AC=BD$ и

$\angle DBC=2\angle ACB$ . Докажите, что

$AB+BC>CD$ .
комментарий/решение

Задача №5. Сколько существует перестановок

$(a_1,a_2,\ldots, a_8)$ чисел

$(1,2,\ldots,8)$ , для которых выполнено равенство

$a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8?$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Даны натуральные числа

$a,b,n$ . Известно, что

$n$ делится и на число

$a^5$ и на число

$b^5$ . Докажите, что

$n$ делится на все числа

$a^4b$ ,

$a^3b^2$ ,

$a^2b^3$ ,

$ab^4$ .
комментарий/решение(2)

Задача №7. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ известно:

$\angle ADC=90^\circ$ ,

$AB=BD=DC$ . На стороне

$AD$ взята точка

$M$ такая, что

$\angle AMB=\angle DMC$ . Докажите, что

$\angle ABD=2\angle BMC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Дан квадрат

$9 \times 9$ , в каждой клетке стоит по пешке. Ходя по очереди два игрока играют следующим образом. Начинающий первый игрок за один свой ход указывает на две пешки, стоящих в соседних по стороне клетках. Затем второй своим ходом одну из этих пешек убирает. Как только оказывается, что у какой-то из оставшихся на доске пешки выкинуты две соседние пешки по стороне, игра заканчивается. Какое наибольшее количество пешек

$n$ первый игрок может себе обеспечить, чтобы независимо от действий второго игрока, осталось гарантированно

$n$ пешек?
комментарий/решение(1)