Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год
Комментарий/решение:
Разложим эти числа на простые множители:
2α=21p11p12 Ведь кол-во делителей равна 8. (1+1)(1+1)(1+1)=23=8
P.S. p1≠p2
Но так как кол-во делителей у 3α менее 6, легко заметить что какое-то из p1 или p2 равна 3: 3α=32p11⇒(2+1)(1+1)=6
Заметим что p1∈{..1,..3,5,..7,..9} может оканчиваться на эти числа. Соответственно при умножении 2023 на α мы получаем ⇒2023α=6069p1∈{..9,..7,5,..3,..1}
Ответ: {9,7,5,3,1}
2a=p⁷;p³q;pqr
1)\frac{3p⁷}{2} \in Z
p=2
a=64
3a=192
d(192)=1,2,3,4,6,8,16...
\phi
2)p³q:2 \in Z
1)p=2
d(12q)=1,2,3,4,6,12,12q..
\phi
2)q=2
1)p≠3
d(3p³)=1,3,p,p²,p³,3p³
\phi
p=3
2a=54
3a=81
2023a=10k+1
3)a=pqr
pqr:2 \in Z
p=2
3a=3qr
d(3qr)=1,3,q,r,qr,3qr,3q,3r
q=r=3
2a=18
\phi
Допустим \alpha имеет хотя бы 2 делителя отличных от 3, тогда пусть кол-во делителей 3\alpha=d_{3}; 6>d3\geq (1+1)*(1+1)*(1+1)=8, противоречие \Rightarrow \alpha имеет не более 1 делителя отличного от 3
Допустим \alpha делиться хотя бы на p^2; p \ne 3 \Rightarrow 6>d3\geq(1+1)*(2+1)=6, противоречие
\alpha=p или \alpha=3^x, если бы в первом случае \alpha делилось хотя бы на 3, то 6>d\geq(2+1)(1+1)=6, противоречие.
Рассмотрим первый случай 8=d_{2}=(1+1)*(1+1)=4 или 8=d_{2}=2+1=3 при p=2, противоречие \Rightarrow \alpha=3^x
8=d_{2}=(1+1)*(x+1) \Rightarrow x=3 \Rightarrow \alpha=27 \Rightarrow 2023\alpha кончается на 1 (т.к. 3*7 кончается на 1)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.