Processing math: 25%

Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год


Натурал болатын 2a санында 8 бөлгіш бар (1-ді және санның өзін есептегенде), ал натурал 3a санында бөлгіш саны 6-дан аз. 2023a санымен қандай цифр аяқталуы мүмкін?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
1 года 9 месяца назад #

Разложим эти числа на простые множители:

2α=21p11p12 Ведь кол-во делителей равна 8. (1+1)(1+1)(1+1)=23=8

P.S. p1p2

Но так как кол-во делителей у 3α менее 6, легко заметить что какое-то из p1 или p2 равна 3: 3α=32p11(2+1)(1+1)=6

Заметим что p1{..1,..3,5,..7,..9} может оканчиваться на эти числа. Соответственно при умножении 2023 на α мы получаем 2023α=6069p1{..9,..7,5,..3,..1}

Ответ: {9,7,5,3,1}

  4
1 года 9 месяца назад #

2a=p⁷;p³q;pqr

1)\frac{3p⁷}{2} \in Z

p=2

a=64

3a=192

d(192)=1,2,3,4,6,8,16...

\phi

2)p³q:2 \in Z

1)p=2

d(12q)=1,2,3,4,6,12,12q..

\phi

2)q=2

1)p≠3

d(3p³)=1,3,p,p²,p³,3p³

\phi

p=3

2a=54

3a=81

2023a=10k+1

3)a=pqr

pqr:2 \in Z

p=2

3a=3qr

d(3qr)=1,3,q,r,qr,3qr,3q,3r

q=r=3

2a=18

\phi

  3
1 года 9 месяца назад #

Спасибо за дополнение моего ответа :D

  0
1 года назад #

Допустим \alpha имеет хотя бы 2 делителя отличных от 3, тогда пусть кол-во делителей 3\alpha=d_{3}; 6>d3\geq (1+1)*(1+1)*(1+1)=8, противоречие \Rightarrow \alpha имеет не более 1 делителя отличного от 3

Допустим \alpha делиться хотя бы на p^2; p \ne 3 \Rightarrow 6>d3\geq(1+1)*(2+1)=6, противоречие

\alpha=p или \alpha=3^x, если бы в первом случае \alpha делилось хотя бы на 3, то 6>d\geq(2+1)(1+1)=6, противоречие.

Рассмотрим первый случай 8=d_{2}=(1+1)*(1+1)=4 или 8=d_{2}=2+1=3 при p=2, противоречие \Rightarrow \alpha=3^x

8=d_{2}=(1+1)*(x+1) \Rightarrow x=3 \Rightarrow \alpha=27 \Rightarrow 2023\alpha кончается на 1 (т.к. 3*7 кончается на 1)